Номер 19, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Что такое поворот и параллельный перенос?

Поворот — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка плоскости поворачивается на заданный угол $\alpha$ вокруг фиксированной точки $O$, называемой центром поворота. При этом каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M'$, что расстояние от центра поворота до обеих точек одинаково ($OM = OM'$), а угол между векторами $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ равен углу поворота $\alpha$ ($\angle MOM' = \alpha$). Направление поворота может быть по часовой стрелке или против часовой стрелки (обычно считается положительным). Поворот является движением, то есть он сохраняет расстояния между точками, а значит, и форму, и размеры фигур. В координатах поворот точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки задается формулами:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

где $(x', y')$ — новые координаты точки.

Ответ: Поворот — это преобразование, при котором фигура поворачивается на заданный угол вокруг фиксированной точки (центра поворота), сохраняя свою форму и размеры.

Параллельный перенос — это геометрическое преобразование, при котором все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это преобразование задается вектором переноса $\vec{p}$. При параллельном переносе на вектор $\vec{p}$ каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору переноса $\vec{p}$ ($\vec{MM'} = \vec{p}$). Другими словами, все точки фигуры сдвигаются одинаковым образом. Параллельный перенос также является движением, так как он сохраняет расстояния между точками. При этом преобразовании прямые переходят в параллельные им прямые (или в самих себя). В координатах параллельный перенос точки $(x, y)$ на вектор $\vec{p} = (a, b)$ задается формулами:

$x' = x + a$

$y' = y + b$

где $(x', y')$ — новые координаты точки.

Ответ: Параллельный перенос — это преобразование, при котором каждая точка фигуры сдвигается на один и тот же вектор, в результате чего фигура перемещается без поворотов и изменения размеров.