Номер 14, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

14. Что такое ломаная линия? Какими свойствами она обладает?

Что такое ломаная линия?

Ломаная линия (или просто ломаная) — это геометрическая фигура, состоящая из конечного числа отрезков, соединенных последовательно своими концами. Это означает, что конец первого отрезка является началом второго, конец второго — началом третьего, и так далее, причем никакие два соседних звена не лежат на одной прямой.

Основные элементы ломаной:

• Звенья ломаной — это отрезки, из которых она состоит.

• Вершины ломаной — это концы звеньев.

• Концы ломаной — это две крайние вершины, которые являются концами только одного звена (начало первого и конец последнего звена). Остальные вершины называются внутренними.

Если задана последовательность точек $A_1, A_2, \ldots, A_n$, то ломаной $A_1A_2\ldots A_n$ называют фигуру, образованную объединением отрезков $A_1A_2, A_2A_3, \ldots, A_{n-1}A_n$.

Ломаные линии классифицируются по нескольким признакам:

• Незамкнутая (открытая) ломаная: ее концы (первая и последняя вершины) не совпадают, то есть $A_1 \neq A_n$.

• Замкнутая ломаная: ее концы совпадают, то есть $A_1 = A_n$.

• Простая (самонепересекающаяся) ломаная: ее звенья не имеют общих точек, за исключением вершин, где соединяются соседние звенья.

• Непростая (самопересекающаяся) ломаная: у нее есть пересечения не соседних звеньев.

Простая замкнутая ломаная линия называется многоугольником.

Ответ: Ломаная линия — это фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединенных своими концами.

Какими свойствами она обладает?

Ломаная линия обладает несколькими ключевыми свойствами, основное из которых связано с ее длиной.

1. Длина ломаной. Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев. Для ломаной, заданной вершинами $A_1, A_2, \ldots, A_n$, ее длина $L$ вычисляется по формуле:

$L = |A_1A_2| + |A_2A_3| + \ldots + |A_{n-1}A_n| = \sum_{i=1}^{n-1} |A_iA_{i+1}|$

Длина замкнутой ломаной называется ее периметром.

2. Свойство длины ломаной (неравенство ломаной). Длина любой незамкнутой ломаной линии не меньше длины отрезка, соединяющего ее концы. Это свойство является обобщением неравенства треугольника. Для ломаной $A_1A_2\ldots A_n$ это свойство выражается неравенством:

$|A_1A_2| + |A_2A_3| + \ldots + |A_{n-1}A_n| \ge |A_1A_n|$

Равенство в этом выражении достигается тогда и только тогда, когда все вершины ломаной ($A_1, A_2, \ldots, A_n$) лежат на одной прямой в указанном порядке. Это означает, что ломаная является отрезком.

3. Свойство простой замкнутой ломаной. Согласно теореме Жордана, любая простая замкнутая ломаная линия (то есть простой многоугольник) на плоскости разделяет эту плоскость на две непересекающиеся области: внутреннюю (ограниченную) и внешнюю (неограниченную), границей которых она является.

Ответ: Основные свойства ломаной — это наличие длины, равной сумме длин ее звеньев, и то, что ее длина всегда больше или равна расстоянию между ее концами. Кроме того, простая замкнутая ломаная делит плоскость на две области.