Номер 10, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

10. Что такое решение треугольника?

10. Решение треугольника — это процесс нахождения всех его неизвестных элементов (сторон и углов) по известным элементам, которые однозначно определяют треугольник.

У любого треугольника есть шесть основных элементов: три стороны (обычно обозначаются как a, b, c) и три угла (α, β, γ), противолежащие соответствующим сторонам. Для того чтобы "решить" треугольник, необходимо знать как минимум три из этих шести элементов, причём хотя бы один из них должен быть стороной. Если известны только три угла, то можно определить лишь форму треугольника, но не его размеры, так как существует бесконечное множество подобных треугольников.

Основные инструменты, используемые для решения треугольников:

• Теорема синусов: Устанавливает пропорциональную зависимость между сторонами треугольника и синусами противолежащих им углов: $\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$.
• Теорема косинусов: Связывает длину одной стороны с длинами двух других сторон и косинусом угла между ними. Например, для стороны a: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha$.
• Теорема о сумме углов треугольника: Сумма всех углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Существуют четыре основных типа задач на решение произвольных треугольников, в зависимости от заданных элементов:

1. Решение по стороне и двум углам (например, даны сторона a, углы β и γ). Третий угол находится из теоремы о сумме углов: $\alpha = 180^\circ - (\beta + \gamma)$. Остальные стороны находятся по теореме синусов.
2. Решение по двум сторонам и углу между ними (например, даны стороны a, b и угол γ). Третья сторона c находится по теореме косинусов: $c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma}$. Затем по теореме синусов или косинусов находятся остальные углы.
3. Решение по трем сторонам (даны стороны a, b, c). Углы находятся по теореме косинусов. Например, угол α можно найти так: $\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
4. Решение по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них (например, даны стороны a, b и угол α). Это так называемый "неоднозначный случай", так как задача может иметь два решения, одно решение или не иметь решений вовсе. Для решения используется теорема синусов.

Для частного случая — прямоугольных треугольников — задача упрощается, так как один угол уже известен ($90^\circ$), и для решения можно использовать теорему Пифагора и определения тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс).

Ответ: Решение треугольника — это нахождение длин всех его трёх сторон и величин всех его трёх углов по трём известным элементам, из которых хотя бы один является стороной.