Номер 7, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Как определяются координаты вектора? Как определяются действия над векторами, заданными в координатах, модуль вектора?

Как определяются координаты вектора?

Координаты вектора определяются разностью соответствующих координат его конца и начала. Пусть в прямоугольной системе координат заданы две точки: начало вектора $A(x_1, y_1, z_1)$ и конец вектора $B(x_2, y_2, z_2)$. Тогда координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются как разность координат точки $B$ и точки $A$.

Для вектора в трехмерном пространстве:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$

Для вектора на плоскости, где точки имеют координаты $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, формула аналогична:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$

Если начало вектора совпадает с началом координат $O(0,0,0)$, такой вектор называется радиус-вектором. Координаты радиус-вектора $\vec{OM}$, проведенного к точке $M(x, y, z)$, совпадают с координатами этой точки: $\vec{OM} = (x, y, z)$.

Ответ: Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конечной и начальной точек.

Как определяются действия над векторами, заданными в координатах?

Все действия над векторами, заданными в координатах, производятся покоординатно. Пусть даны два вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ и $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ и некоторое число (скаляр) $k$. Основные действия определяются следующим образом (правила для векторов на плоскости аналогичны):

Сложение векторов: Координаты вектора-суммы равны суммам соответствующих координат векторов-слагаемых.

$\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$

Вычитание векторов: Координаты вектора-разности равны разностям соответствующих координат уменьшаемого и вычитаемого векторов.

$\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)$

Умножение вектора на скаляр: Каждая координата вектора умножается на данный скаляр.

$k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)$

Скалярное произведение векторов: Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат. Результатом этой операции является скаляр (число), а не вектор.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Ответ: Действия над векторами в координатах выполняются покоординатно: при сложении/вычитании векторов их соответствующие координаты складываются/вычитаются; при умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число; скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.

Как определяется модуль вектора?

Модуль (или длина, абсолютная величина) вектора — это длина отрезка, который представляет данный вектор. Модуль вектора $\vec{a}$ обозначается как $|\vec{a}|$.

Модуль вектора, заданного своими координатами, вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Эта формула является прямым следствием теоремы Пифагора для расстояния между двумя точками.

Для вектора $\vec{a} = (a_x, a_y)$ на плоскости:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Для вектора $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ в пространстве:

$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$

Ответ: Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.