Номер 5, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5. Что такое угол между векторами и проекция вектора на ось? Какие их свойства вы знаете?

Угол между векторами

Углом между двумя ненулевыми векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется наименьший угол $\varphi$, образованный лучами, на которых лежат эти векторы, если их отложить от одной точки. Величина этого угла по определению находится в пределах от 0 до $\pi$ радиан (или от 0° до 180°).

Для вычисления угла используется скалярное произведение векторов. По определению, скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно произведению их длин (модулей) на косинус угла между ними:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$

Из этого определения выражается косинус угла между векторами:

$\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

Если векторы заданы своими координатами в декартовой системе, например, в пространстве $\vec{a} = (x_1, y_1, z_1)$ и $\vec{b} = (x_2, y_2, z_2)$, то формула для косинуса угла принимает вид:

$\cos\varphi = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$

Свойства угла между векторами:

Свойства угла тесно связаны со знаком их скалярного произведения:

1. Если $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$, то угол $\varphi$ острый ($0 \le \varphi < \pi/2$).

2. Если $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$, то угол $\varphi$ тупой ($\pi/2 < \varphi \le \pi$).

3. Если $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (для ненулевых векторов), то векторы ортогональны (перпендикулярны), то есть $\varphi = \pi/2$. Это является необходимым и достаточным условием ортогональности векторов.

4. Если векторы сонаправлены (направлены в одну сторону), то $\varphi = 0$.

5. Если векторы противоположно направлены, то $\varphi = \pi$.

Ответ: Угол между векторами — это наименьший угол между их направлениями при совмещении их начал, который находится в диапазоне $[0, \pi]$. Его косинус определяется через скалярное произведение по формуле $\cos\varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$. Основные свойства угла (острый, тупой, прямой) определяются знаком скалярного произведения векторов.

Проекция вектора на ось

Проекцией вектора $\vec{a}$ на ось $l$ (или скалярной проекцией) называется число, которое обозначается $\text{пр}_l \vec{a}$ и вычисляется по формуле:

$\text{пр}_l \vec{a} = |\vec{a}| \cos\varphi$

Здесь $|\vec{a}|$ — это длина (модуль) вектора $\vec{a}$, а $\varphi$ — угол между направлением вектора $\vec{a}$ и направлением оси $l$.

Геометрически проекция представляет собой длину отрезка, образованного на оси $l$ перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора. Эта длина берется со знаком «+», если направление отрезка-проекции совпадает с направлением оси, и со знаком «−», если оно противоположно.

Если $\vec{u}$ — единичный направляющий вектор оси $l$ (орт), то проекцию можно найти через скалярное произведение: $\text{пр}_l \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{u}$.

Свойства проекции вектора на ось:

1. Проекция суммы (разности) векторов равна сумме (разности) их проекций:

$\text{пр}_l (\vec{a} \pm \vec{b}) = \text{пр}_l \vec{a} \pm \text{пр}_l \vec{b}$

2. При умножении вектора на скаляр $k$ его проекция умножается на этот же скаляр:

$\text{пр}_l (k\vec{a}) = k \cdot \text{пр}_l \vec{a}$

Эти два свойства означают, что операция проецирования является линейной.

3. Проекция вектора на ось положительна, если угол $\varphi$ между вектором и осью острый ($0 \le \varphi < \pi/2$).

4. Проекция отрицательна, если угол $\varphi$ тупой ($\pi/2 < \varphi \le \pi$).

5. Проекция равна нулю, если вектор перпендикулярен оси ($\varphi = \pi/2$).

Ответ: Проекция вектора на ось — это числовая (скалярная) величина, равная произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью: $\text{пр}_l \vec{a} = |\vec{a}| \cos\varphi$. Она обладает свойством линейности (проекция суммы равна сумме проекций, и постоянный множитель выносится за знак проекции), а ее знак зависит от величины угла между вектором и осью.