Номер 4, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4. Как определяется разность векторов? Как определяется умножение вектора на число? Какими свойствами обладают эти действия?

Как определяется разность векторов?

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор $\vec{c}$, который в сумме с вектором $\vec{b}$ дает вектор $\vec{a}$. Это можно записать как $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}$, если $\vec{c} + \vec{b} = \vec{a}$.

Другое, эквивалентное, определение гласит, что разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ есть сумма вектора $\vec{a}$ и вектора, противоположного вектору $\vec{b}$ (то есть вектора $-\vec{b}$):

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$.

С геометрической точки зрения, если отложить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ от одной точки $O$, так что $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$, то их разностью $\vec{a} - \vec{b}$ будет вектор $\vec{BA}$, который направлен от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$.

В координатной форме, если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x; a_y; a_z)$ и вектор $\vec{b}$ имеет координаты $(b_x; b_y; b_z)$, то их разность $\vec{a} - \vec{b}$ имеет координаты $(a_x - b_x; a_y - b_y; a_z - b_z)$.

Ответ: Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$ такой, что его сумма с вектором $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$. Геометрически это вектор, идущий из конца вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$ (если их начала совмещены). В координатах разность векторов находится вычитанием их соответствующих координат.

Как определяется умножение вектора на число?

Произведением ненулевого вектора $\vec{a}$ на число (скаляр) $k \neq 0$ называется вектор $\vec{b} = k \cdot \vec{a}$, который удовлетворяет следующим условиям:

• Длина (модуль) вектора $\vec{b}$ равна произведению модуля числа $k$ на длину вектора $\vec{a}$: $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Направление вектора $\vec{b}$:
  • сонаправлено с вектором $\vec{a}$ (направлено в ту же сторону), если $k > 0$.
  • противоположно направлению вектора $\vec{a}$, если $k < 0$.

Если $k = 0$ или $\vec{a}$ является нулевым вектором ($\vec{a} = \vec{0}$), то их произведение равно нулевому вектору: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ и $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.

В координатной форме, если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $(a_x; a_y; a_z)$, то произведение $k \cdot \vec{a}$ имеет координаты $(k \cdot a_x; k \cdot a_y; k \cdot a_z)$.

Ответ: Произведением вектора $\vec{a}$ на число $k$ является вектор $k\vec{a}$, длина которого равна $|k||\vec{a}|$. Он сонаправлен с $\vec{a}$ при $k>0$ и противоположно направлен при $k<0$. Если $k=0$ или $\vec{a}=\vec{0}$, то произведение есть нулевой вектор. Каждая координата результирующего вектора равна произведению соответствующей координаты исходного вектора на число $k$.

Какими свойствами обладают эти действия?

Для любых векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и любых чисел (скаляров) $k$, $m$ операция умножения вектора на число, а также связанные с ней операции сложения и вычитания векторов, обладают следующими основными свойствами:

1. Сочетательный закон (относительно скалярного множителя): $(k \cdot m) \vec{a} = k (m \vec{a})$
2. Первый распределительный закон (относительно суммы скаляров): $(k + m) \vec{a} = k \vec{a} + m \vec{a}$
3. Второй распределительный закон (относительно суммы векторов): $k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$
4. Свойство единичного множителя: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$

Важно отметить, что операция вычитания векторов, в отличие от сложения, не обладает некоторыми свойствами:

• Вычитание не коммутативно: $\vec{a} - \vec{b} \neq \vec{b} - \vec{a}$ (в общем случае). Вместо этого справедливо равенство: $\vec{a} - \vec{b} = -(\vec{b} - \vec{a})$.
• Вычитание не ассоциативно: $(\vec{a} - \vec{b}) - \vec{c} \neq \vec{a} - (\vec{b} - \vec{c})$ (в общем случае).

Ответ: Основные свойства для векторов $\vec{a}, \vec{b}$ и чисел $k, m$: 1) сочетательный закон $(km)\vec{a} = k(m\vec{a})$; 2) распределительный закон относительно суммы чисел $(k+m)\vec{a} = k\vec{a} + m\vec{a}$; 3) распределительный закон относительно суммы векторов $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$; 4) свойство единицы $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$. Вычитание векторов не является коммутативным и ассоциативным.