Номер 30, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

30. Каковы особенности расположения прямой и окружности, заданных своими уравнениями, по отношению к осям координат?

Для анализа расположения прямой и окружности относительно осей координат необходимо рассмотреть их уравнения. Положение геометрической фигуры определяется параметрами, входящими в ее уравнение.

Положение прямой на плоскости относительно осей координат зависит от коэффициентов в ее уравнении. Рассмотрим общее уравнение прямой $Ax + By + C = 0$ и уравнение с угловым коэффициентом $y = kx + b$.

1. Пересечение с осями координат:

- С осью абсцисс (Ox), уравнение которой $y = 0$. Подставив $y=0$ в уравнение прямой, получим $Ax + C = 0$. Если $A \neq 0$, то точка пересечения имеет координаты $(-C/A, 0)$. В форме $y = kx + b$, при $k \neq 0$, точка пересечения $(-b/k, 0)$.

- С осью ординат (Oy), уравнение которой $x = 0$. Подставив $x=0$ в уравнение прямой, получим $By + C = 0$. Если $B \neq 0$, то точка пересечения имеет координаты $(0, -C/B)$. В форме $y = kx + b$, точка пересечения всегда $(0, b)$ — это и есть геометрический смысл коэффициента $b$.

2. Параллельность осям координат:

- Прямая параллельна оси Ox, если ее угловой коэффициент $k=0$. Уравнение принимает вид $y = b$. В общем виде это соответствует случаю $A = 0$, тогда уравнение $By + C = 0 \Rightarrow y = -C/B$. Если $b=0$ (или $C=0$), то прямая совпадает с осью Ox.

- Прямая параллельна оси Oy, если ее угловой коэффициент не определен. Такие прямые описываются уравнением $x = c$. В общем виде это соответствует случаю $B = 0$, тогда уравнение $Ax + C = 0 \Rightarrow x = -C/A$. Если $c=0$ (или $C=0$), то прямая совпадает с осью Oy.

3. Прохождение через начало координат:

- Прямая проходит через начало координат, точку $(0, 0)$, если ее свободный член равен нулю. Для уравнения $Ax + By + C = 0$ это означает $C = 0$. Для уравнения $y = kx + b$ это означает $b = 0$, и уравнение принимает вид $y=kx$.

Ответ: Особенности расположения прямой относительно осей координат определяются коэффициентами ее уравнения. Коэффициенты $A=0$ или $B=0$ в общем уравнении (или $k=0$ для $y=kx+b$) указывают на параллельность осям Ox или Oy соответственно. Свободный член $C$ (или $b$) отвечает за сдвиг прямой и определяет точку пересечения с осью Oy, а его равенство нулю означает прохождение прямой через начало координат. В общем случае прямая пересекает обе оси в точках, координаты которых находятся из уравнения.

Рассмотрим каноническое уравнение окружности $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

1. Расположение относительно оси Ox ($y = 0$):

Для нахождения общих точек подставляем $y=0$ в уравнение окружности: $(x - a)^2 + (0 - b)^2 = R^2 \Rightarrow (x - a)^2 = R^2 - b^2$.

- Если $R^2 - b^2 > 0$, т.е. $|b| < R$ (расстояние от центра до оси меньше радиуса), окружность пересекает ось Ox в двух точках: $x = a \pm \sqrt{R^2 - b^2}$.

- Если $R^2 - b^2 = 0$, т.е. $|b| = R$ (расстояние от центра до оси равно радиусу), окружность касается оси Ox в одной точке $(a, 0)$.

- Если $R^2 - b^2 < 0$, т.е. $|b| > R$ (расстояние от центра до оси больше радиуса), окружность не имеет общих точек с осью Ox.

2. Расположение относительно оси Oy ($x = 0$):

Аналогично, подставляем $x=0$: $(0 - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \Rightarrow (y - b)^2 = R^2 - a^2$.

- Если $R^2 - a^2 > 0$, т.е. $|a| < R$, окружность пересекает ось Oy в двух точках: $y = b \pm \sqrt{R^2 - a^2}$.

- Если $R^2 - a^2 = 0$, т.е. $|a| = R$, окружность касается оси Oy в одной точке $(0, b)$.

- Если $R^2 - a^2 < 0$, т.е. $|a| > R$, окружность не имеет общих точек с осью Oy.

3. Расположение относительно начала координат $(0, 0)$:

Оно определяется соотношением между расстоянием от центра до начала координат $\sqrt{a^2+b^2}$ и радиусом $R$.

- Если $a^2 + b^2 = R^2$, окружность проходит через начало координат.

- Если $a^2 + b^2 < R^2$, начало координат находится внутри окружности.

- Если $a^2 + b^2 > R^2$, начало координат находится вне окружности.

4. Частный случай: центр в начале координат ($a=0, b=0$):

Уравнение $x^2 + y^2 = R^2$. Окружность симметрична относительно обеих осей. Она пересекает ось Ox в точках $(\pm R, 0)$ и ось Oy в точках $(0, \pm R)$.

Ответ: Расположение окружности относительно осей координат определяется соотношением между координатами ее центра $(a, b)$ и радиусом $R$. Если модуль одной из координат центра равен радиусу (например, $|a|=R$), окружность касается соответствующей оси (Oy). Если модуль координаты меньше радиуса ($|a|<r$), окружность пересекает ось в двух точках. Если больше ($|a|>R$), общих точек нет. Прохождение через начало координат определяется условием $a^2+b^2=R^2$.