Номер 27, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

27. Как определяется расстояние между точками?

Расстояние между двумя точками определяется как длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Способ вычисления этого расстояния зависит от пространства (координатной системы), в котором находятся точки.

Если точки A и B лежат на координатной прямой, то у каждой из них есть одна координата. Пусть точка A имеет координату $x_1$, а точка B — координату $x_2$. Расстояние $d$ между ними равно модулю (абсолютной величине) разности их координат.

Формула:

$d = |x_2 - x_1|$

Например: если A(3) и B(9), то расстояние между ними равно $|9 - 3| = 6$. Если A(-2) и B(5), то расстояние равно $|5 - (-2)| = |5 + 2| = 7$.

Ответ: Расстояние между двумя точками на прямой равно модулю разности их координат: $d = |x_2 - x_1|$.

В декартовой системе координат на плоскости каждая точка задается парой координат $(x, y)$. Пусть даны две точки: A с координатами $(x_1, y_1)$ и B с координатами $(x_2, y_2)$. Для нахождения расстояния между ними используется теорема Пифагора. Отрезок AB является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого параллельны осям координат и имеют длины $|x_2 - x_1|$ и $|y_2 - y_1|$.

Формула для вычисления расстояния $d$ (или длины отрезка AB) выглядит так:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Эта формула представляет собой корень квадратный из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Например: найдем расстояние между точками A(2, 3) и B(5, 7).

$d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: Расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

В трехмерном пространстве каждая точка задается тройкой координат $(x, y, z)$. Пусть даны точки A с координатами $(x_1, y_1, z_1)$ и B с координатами $(x_2, y_2, z_2)$. Формула для нахождения расстояния является обобщением формулы для плоскости.

Формула для вычисления расстояния $d$ в пространстве:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Эта формула соответствует длине диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на этих точках.

Например: найдем расстояние между точками A(1, 0, -2) и B(3, 2, 2).

$d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Ответ: Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$.

В общем случае для n-мерного пространства, где точки заданы набором из n координат $A(a_1, a_2, ..., a_n)$ и $B(b_1, b_2, ..., b_n)$, расстояние (евклидова метрика) между ними вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2 + \dots + (b_n - a_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (b_i - a_i)^2}$

Ответ: В n-мерном евклидовом пространстве расстояние между точками вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов разностей их соответствующих координат: $d = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (b_i - a_i)^2}$.