Номер 26, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Что такое прямоугольная система координат? Как определяются координаты точки?

Что такое прямоугольная система координат?

Прямоугольная система координат, также известная как декартова система координат, — это метод, позволяющий однозначно определить положение точки на плоскости или в пространстве с помощью набора чисел, называемых координатами.

Для задания системы координат на плоскости (в двумерном пространстве) используются две взаимно перпендикулярные числовые оси, которые пересекаются в точке $O$, называемой началом координат. Горизонтальная ось называется осью абсцисс ($Ox$), а вертикальная — осью ординат ($Oy$). Для каждой оси задаётся положительное направление и выбирается единичный отрезок (масштаб). Оси делят плоскость на четыре координатные четверти (квадранта).

Для задания системы координат в пространстве (в трехмерном пространстве) используются три взаимно перпендикулярные числовые оси ($Ox$, $Oy$, $Oz$), которые также пересекаются в общем начале координат $O$. Ось $Ox$ называется осью абсцисс, ось $Oy$ — осью ординат, а ось $Oz$ — осью аппликат. Каждая пара осей определяет координатную плоскость (например, $Oxy$), а все три плоскости делят пространство на восемь частей (октантов).

Название "прямоугольная" подчеркивает тот факт, что все координатные оси перпендикулярны друг другу (образуют прямые углы).

Ответ: Прямоугольная система координат — это система, состоящая из двух (на плоскости) или трех (в пространстве) взаимно перпендикулярных числовых осей с общим началом координат и единым масштабом, которая служит для определения положения точек с помощью чисел (координат).

Как определяются координаты точки?

Координаты точки — это упорядоченный набор чисел, задающий её положение в выбранной системе координат. Процесс их определения зависит от размерности пространства.

На плоскости координаты точки $M$ определяются следующим образом. Из точки $M$ опускают перпендикуляры на оси $Ox$ и $Oy$.

• Абсцисса ($x$) точки $M$ — это координата на оси $Ox$, в которую попадает основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на эту ось.

• Ордината ($y$) точки $M$ — это координата на оси $Oy$, в которую попадает основание перпендикуляра, опущенного из $M$ на эту ось.

Координаты записываются в виде упорядоченной пары $(x; y)$. Например, запись $A(3; -5)$ означает, что абсцисса точки $A$ равна $3$, а ордината равна $-5$.

В пространстве координаты точки $M$ определяются аналогично, но с использованием трех осей.

• Абсцисса ($x$) — это координата проекции точки $M$ на ось $Ox$.

• Ордината ($y$) — это координата проекции точки $M$ на ось $Oy$.

• Аппликата ($z$) — это координата проекции точки $M$ на ось $Oz$.

На практике, чтобы найти координаты, можно спроецировать точку $M$ на координатные плоскости, а затем — на оси. Например, аппликата $z$ — это также длина (со знаком) перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на плоскость $Oxy$. Координаты записываются в виде упорядоченной тройки чисел $(x; y; z)$.

Ответ: Координаты точки определяются как числовые значения ее проекций на координатные оси. Для точки на плоскости это пара чисел $(x; y)$, где $x$ и $y$ — значения на осях абсцисс и ординат соответственно. Для точки в пространстве — это тройка чисел $(x; y; z)$, где $x$, $y$ и $z$ — значения на осях абсцисс, ординат и аппликат.