Номер 19, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

19. Опишите зависимость тригонометрических функций острого угла.

Тригонометрические функции одного и того же острого угла $\alpha$ (то есть угла в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$) связаны между собой рядом фундаментальных соотношений, которые называются основными тригонометрическими тождествами. Эти зависимости позволяют, зная значение одной функции, найти значения всех остальных.

Основное тригонометрическое тождество

Эта зависимость связывает синус и косинус одного и того же угла и вытекает непосредственно из теоремы Пифагора. Для любого острого угла $\alpha$ справедливо равенство:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Из этого тождества можно выразить синус через косинус и наоборот:

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha}$

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha}$

Поскольку для острого угла значения синуса и косинуса всегда положительны, перед корнем ставится знак плюс.

Ответ: Основное тригонометрическое тождество связывает синус и косинус угла $\alpha$ формулой $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Выражение тангенса и котангенса через синус и косинус

Тангенс и котангенс острого угла определяются как отношение синуса к косинусу и косинуса к синусу соответственно.

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$

Эти формулы следуют из определений тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике: если $a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий катет, а $c$ — гипотенуза, то $\tan\alpha = \frac{a}{b} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. Аналогично для котангенса.

Ответ: Тангенс и котангенс выражаются через синус и косинус как $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ и $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

Из предыдущих определений напрямую следует, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными величинами:

$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$

Отсюда:

$\tan\alpha = \frac{1}{\cot\alpha}$

$\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$

Ответ: Тангенс и котангенс связаны соотношением $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$.

Зависимости, связывающие тангенс с косинусом и котангенс с синусом

Эти тождества также являются следствием основного тригонометрического тождества. Если разделить обе части равенства $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ на $\cos^2\alpha$ (что возможно, так как для острого угла $\cos\alpha \neq 0$), получим:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

Если разделить обе части равенства $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ на $\sin^2\alpha$ (что возможно, так как для острого угла $\sin\alpha \neq 0$), получим:

$\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha} + \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

$1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$

Ответ: Существуют зависимости $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1 + \cot^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$.

Зависимость между функциями комплементарных углов

В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают $90^\circ$. Если один угол равен $\alpha$, то другой равен $90^\circ - \alpha$. Для этих углов справедливы следующие соотношения, называемые формулами приведения:

$\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$

$\cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

$\tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha$

$\cot(90^\circ - \alpha) = \tan\alpha$

Эти формулы показывают, что синус угла равен косинусу его дополнения до $90^\circ$, а тангенс угла равен котангенсу его дополнения.

Ответ: Для комплементарных углов ($\alpha$ и $90^\circ - \alpha$) справедливы формулы приведения: синус одного угла равен косинусу другого, а тангенс одного угла равен котангенсу другого ($\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$, $\tan(90^\circ - \alpha) = \cot\alpha$ и т.д.).