Номер 15, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

15. Какими свойствами обладают вписанные и описанные четырехугольники?

Свойства вписанных четырехугольников

Четырехугольник называется вписанным в окружность (или циклическим), если все его вершины лежат на этой окружности. Сама окружность в этом случае называется описанной около четырехугольника.

Основное свойство (которое также является признаком): Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^{\circ}$.

Для вписанного четырехугольника $ABCD$ верны следующие равенства:

$\angle A + \angle C = 180^{\circ}$

$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$

Дополнительные свойства:

1. Теорема Птолемея: Во вписанном четырехугольнике произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин противолежащих сторон. Для четырехугольника $ABCD$ со сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $d_1, d_2$:

$d_1 \cdot d_2 = a \cdot c + b \cdot d$

2. Формула Брахмагупты для площади: Площадь вписанного четырехугольника со сторонами $a, b, c, d$ и полупериметром $p = (a+b+c+d)/2$ можно найти по формуле:

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Ответ: Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противолежащих углов равна $180^{\circ}$.

Свойства описанных четырехугольников

Четырехугольник называется описанным около окружности (или тангенциальным), если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность в этом случае называется вписанной в четырехугольник.

Основное свойство (которое также является признаком, известным как теорема Пи́то): В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.

Для описанного четырехугольника $ABCD$ со сторонами $AB, BC, CD, DA$ верно следующее равенство:

$AB + CD = BC + DA$

Дополнительные свойства:

1. Площадь: Площадь описанного четырехугольника равна произведению его полупериметра $p$ на радиус $r$ вписанной окружности:

$S = p \cdot r$

Ответ: Основное свойство описанного четырехугольника заключается в том, что суммы длин его противолежащих сторон равны.