Номер 9, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

9. Докажите теорему Фалеса.

Теорема Фалеса, в своей обобщенной формулировке, утверждает, что если параллельные прямые пересекают две другие прямые (например, стороны угла), то они отсекают на этих прямых пропорциональные отрезки. Докажем эту теорему для наиболее частого случая, когда параллельные прямые пересекают стороны угла.

Дано:

Угол с вершиной $O$. Его стороны пересекаются параллельными прямыми $A_1B_1$ и $A_2B_2$, то есть $A_1B_1 || A_2B_2$. Точки $A_1$ и $A_2$ лежат на одной стороне угла, а точки $B_1$ и $B_2$ — на другой. Для определенности будем считать, что точка $A_1$ лежит между $O$ и $A_2$, а $B_1$ — между $O$ и $B_2$.

Доказать:

$\frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}$

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$. Угол $\angle O$ является общим для этих треугольников. Кроме того, углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OA_2B_2$ равны, так как они являются соответственными углами, образованными при пересечении параллельных прямых $A_1B_1$ и $A_2B_2$ секущей $OA_2$. Таким образом, по первому признаку подобия (по двум углам), треугольники $\triangle OA_1B_1$ и $\triangle OA_2B_2$ подобны.

2. Из факта подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны: $\frac{OA_1}{OA_2} = \frac{OB_1}{OB_2}$

3. Выполним алгебраическое преобразование полученной пропорции. Сначала запишем обратную пропорцию: $\frac{OA_2}{OA_1} = \frac{OB_2}{OB_1}$

Так как отрезки $OA_2$ и $OB_2$ можно выразить через другие отрезки как $OA_2 = OA_1 + A_1A_2$ и $OB_2 = OB_1 + B_1B_2$, подставим эти выражения в равенство: $\frac{OA_1 + A_1A_2}{OA_1} = \frac{OB_1 + B_1B_2}{OB_1}$

Разделим почленно левую и правую части: $\frac{OA_1}{OA_1} + \frac{A_1A_2}{OA_1} = \frac{OB_1}{OB_1} + \frac{B_1B_2}{OB_1}$

$1 + \frac{A_1A_2}{OA_1} = 1 + \frac{B_1B_2}{OB_1}$

Вычитая 1 из обеих частей, получаем: $\frac{A_1A_2}{OA_1} = \frac{B_1B_2}{OB_1}$

Наконец, снова составив обратную пропорцию, мы приходим к требуемому равенству: $\frac{OA_1}{A_1A_2} = \frac{OB_1}{B_1B_2}$

Что и требовалось доказать.

Примечание: Часто встречается и более простая (классическая) формулировка теоремы Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. Это утверждение является частным случаем доказанной обобщенной теоремы, где отношение отрезков $OA_1$ и $A_1A_2$ равно 1.

Ответ: Теорема доказана.