Номер 2, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2. Чему равна сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, сумма внешних углов?

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника (многоугольника, имеющего $n$ сторон и $n$ вершин) зависит от количества его сторон и вычисляется по формуле:

$$ S_n = (n - 2) \times 180^\circ $$

где $n$ — количество сторон (и углов) многоугольника. Значение $n$ должно быть целым числом, большим или равным 3.

Обоснование формулы:

Любой выпуклый $n$-угольник можно разделить на $n-2$ треугольника, проведя все возможные диагонали из одной вершины. Так как сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$, то сумма внутренних углов всего многоугольника будет равна произведению количества полученных треугольников на $180^\circ$.

Примеры расчета для некоторых многоугольников:

1. Треугольник ($n=3$): Сумма углов равна $(3 - 2) \times 180^\circ = 1 \times 180^\circ = 180^\circ$.

2. Четырехугольник ($n=4$): Сумма углов равна $(4 - 2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ$.

3. Пятиугольник ($n=5$): Сумма углов равна $(5 - 2) \times 180^\circ = 3 \times 180^\circ = 540^\circ$.

4. Шестиугольник ($n=6$): Сумма углов равна $(6 - 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

Ответ: Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $(n - 2) \times 180^\circ$.

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника

Внешний угол выпуклого многоугольника — это угол, смежный с его внутренним углом при данной вершине. Для каждой вершины можно построить один внешний угол, продолжив одну из сторон.

В отличие от суммы внутренних углов, сумма внешних углов выпуклого многоугольника (взятых по одному при каждой вершине) не зависит от количества его сторон и всегда является постоянной величиной.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$.

$$ \sum \beta = 360^\circ $$

Доказательство:

Пусть внутренние углы многоугольника равны $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$, а соответствующие им внешние углы — $\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n$.

При каждой вершине сумма внутреннего и внешнего угла составляет $180^\circ$:

$$ \alpha_i + \beta_i = 180^\circ $$

Сумма всех внутренних и всех внешних углов для $n$-угольника будет:

$$ \sum_{i=1}^{n} (\alpha_i + \beta_i) = n \times 180^\circ $$

Разделим это на две суммы:

$$ (\sum_{i=1}^{n} \alpha_i) + (\sum_{i=1}^{n} \beta_i) = n \times 180^\circ $$

Сумма внутренних углов, как мы выяснили ранее, равна $\sum \alpha_i = (n - 2) \times 180^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$$ (n - 2) \times 180^\circ + \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \times 180^\circ $$

Выразим сумму внешних углов:

$$ \sum_{i=1}^{n} \beta_i = n \times 180^\circ - (n - 2) \times 180^\circ $$

$$ \sum_{i=1}^{n} \beta_i = (n - (n - 2)) \times 180^\circ = (n - n + 2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ $$

Таким образом, сумма внешних углов всегда равна $360^\circ$ для любого выпуклого многоугольника.

Ответ: Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна $360^\circ$.