Номер 25, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

25. Как построить угол, равный данному углу?

Для построения угла, равного данному, с помощью циркуля и линейки без делений, нужно выполнить следующий алгоритм:

1. Пусть дан некий угол с вершиной в точке $A$. Также возьмем произвольный луч с началом в точке $O$. На этом луче мы будем строить новый угол.

2. Возьмем циркуль и установим его ножку в вершину $A$ данного угла. Проведем дугу произвольного, но удобного для работы радиуса $r$ так, чтобы она пересекла обе стороны угла. Обозначим точки пересечения как $B$ и $C$.

3. Не изменяя раствор циркуля (сохраняя радиус $r$), перенесем его ножку в точку $O$ — начало нашего луча. Проведем такую же дугу. Она пересечет наш луч в некоторой точке. Назовем её $C_1$.

4. Теперь измерим циркулем расстояние между точками $B$ и $C$ на исходном угле. Для этого установим ножку циркуля в точку $C$, а грифель — в точку $B$. Таким образом, раствор циркуля будет равен длине хорды $BC$.

5. Сохраняя этот новый раствор циркуля, установим его ножку в точку $C_1$ на нашем луче. Проведем дугу так, чтобы она пересекла дугу, построенную в шаге 3. Точку пересечения этих двух дуг обозначим $B_1$.

6. С помощью линейки соединим точку $O$ с точкой $B_1$ и проведем луч.

В результате мы получили угол $\angle B_1OC_1$, который равен исходному углу $\angle BAC$.

Доказательство корректности

Корректность этого построения доказывается через равенство треугольников. Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABC$ на исходном угле и $\triangle OB_1C_1$ на построенном.

• Стороны $AC$ и $OC_1$ равны, так как обе являются радиусом $r$ окружности, которую мы строили в шагах 2 и 3. То есть, $AC = OC_1 = r$.

• Стороны $AB$ и $OB_1$ также равны, так как они тоже являются радиусами той же окружности с радиусом $r$. То есть, $AB = OB_1 = r$.

• Стороны $BC$ и $B_1C_1$ равны по построению, так как в шаге 4 мы измерили расстояние $BC$, а в шаге 5 отложили точно такое же расстояние для нахождения точки $B_1$. То есть, $BC = B_1C_1$.

Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle OB_1C_1$ по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов, следовательно, $\angle BAC = \angle B_1OC_1$.

Ответ: Построение выполняется с помощью циркуля и линейки путем копирования треугольника, образованного вершиной и двумя точками на сторонах исходного угла, как описано в пошаговом алгоритме.