Номер 23, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

23. Длина какого отрезка берется в качестве расстояния от точки до прямой?

В качестве расстояния от точки до прямой принимается длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.

Рассмотрим это определение более подробно. Пусть имеется точка $A$, не лежащая на прямой $a$. Из точки $A$ можно провести бесконечно много отрезков к различным точкам на прямой $a$.

• Отрезок, соединяющий точку $A$ с точкой $H$ на прямой $a$ и образующий с ней прямой угол ($90^\circ$), называется перпендикуляром. Точка $H$ в этом случае называется основанием перпендикуляра.
• Любой другой отрезок, соединяющий точку $A$ с точкой $B$ на прямой $a$ (где $B$ не совпадает с $H$), называется наклонной.

Ключевым свойством, объясняющим, почему именно перпендикуляр выбирается для измерения расстояния, является то, что длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, всегда меньше длины любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же прямой.

Это легко доказать, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle AHB$, где $\angle H = 90^\circ$. В этом треугольнике отрезок $AH$ (перпендикуляр) является катетом, а отрезок $AB$ (наклонная) — гипотенузой. Согласно свойству прямоугольного треугольника, гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Таким образом, справедливо неравенство: $AB > AH$.

Поскольку перпендикуляр — это самый короткий отрезок из всех возможных, соединяющих точку с прямой, его длина и была принята в геометрии за расстояние от точки до прямой.

Ответ: В качестве расстояния от точки до прямой берется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к данной прямой.