Номер 27, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

27. Как найти середину отрезка?

Чтобы найти середину отрезка, необходимо определить координаты точки, которая делит этот отрезок на две равные части. Подход к решению зависит от того, в какой системе координат задан отрезок. Общий принцип заключается в вычислении среднего арифметического координат его конечных точек.

На координатной прямой (в одномерном пространстве)

Если отрезок AB задан на координатной прямой координатами своих концов $A(x_A)$ и $B(x_B)$, то координата $x_C$ его середины, точки C, вычисляется как полусумма координат его концов.

Формула для вычисления: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

Пример: Пусть даны точки $A(-2)$ и $B(8)$. Координата середины отрезка AB будет: $x_C = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Середина отрезка находится в точке $C(3)$.

Ответ: Координата середины отрезка на прямой равна полусумме координат его концов: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$.

На координатной плоскости (в двумерном пространстве)

Если отрезок AB на плоскости задан координатами своих концов $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$, то каждая координата его середины $C(x_C, y_C)$ равна полусумме соответствующих координат ($x$ и $y$) конечных точек.

Формулы для вычисления:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

Пример: Пусть даны точки $A(1, 5)$ и $B(7, -1)$. Координаты середины отрезка AB будут:

$x_C = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$y_C = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Середина отрезка находится в точке $C(4, 2)$.

Ответ: Координаты середины отрезка на плоскости вычисляются по формулам: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$.

В пространстве (в трехмерном пространстве)

Аналогично предыдущим случаям, если отрезок AB задан в пространстве координатами своих концов $A(x_A, y_A, z_A)$ и $B(x_B, y_B, z_B)$, то координаты его середины $C(x_C, y_C, z_C)$ вычисляются как полусумма соответствующих координат ($x$, $y$ и $z$).

Формулы для вычисления:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

$z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$

Пример: Пусть даны точки $A(0, -4, 5)$ и $B(10, 8, -1)$. Координаты середины отрезка AB будут:

$x_C = \frac{0 + 10}{2} = 5$

$y_C = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$z_C = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Середина отрезка находится в точке $C(5, 2, 2)$.

Ответ: Координаты середины отрезка в пространстве вычисляются по формулам: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_C = \frac{z_A + z_B}{2}$.