Номер 29, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

29. Что такое серединный перпендикуляр отрезка? Как его строят?

Что такое серединный перпендикуляр отрезка?

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину. Таким образом, для серединного перпендикуляра выполняются два условия:

1. Он образует с отрезком прямой угол (угол $90^\circ$).

2. Он делит отрезок на две равные части.

Например, если прямая $m$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ и пересекает его в точке $M$, то $m \perp AB$ и $AM = MB$.

Ключевое свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена (находится на одинаковом расстоянии) от концов отрезка. То есть, для любой точки $X$, лежащей на прямой $m$, будет выполняться равенство $XA = XB$. Справедливо и обратное утверждение: любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Ответ: Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Как его строят?

Классическое построение серединного перпендикуляра выполняется с помощью циркуля и линейки (без делений). Пусть дан отрезок $AB$.

1. Возьмите циркуль. Установите его раствор (радиус) так, чтобы он был заведомо больше половины длины отрезка $AB$. Это важно, иначе дуги не пересекутся.

2. Установите острие циркуля в точку $A$ и проведите дугу окружности с выбранным радиусом по обе стороны от отрезка.

3. Не меняя раствор циркуля, установите его острие в точку $B$ и проведите вторую дугу так, чтобы она пересекала первую. В результате получатся две точки пересечения дуг, назовем их $P$ и $Q$.

4. С помощью линейки проведите прямую через точки $P$ и $Q$.

Полученная прямая $PQ$ и есть искомый серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Она пройдет точно через его середину и будет ему перпендикулярна.

Ответ: Для построения серединного перпендикуляра необходимо из концов отрезка, как из центров, описать две дуги окружности одинаковым радиусом (большим половины отрезка) до их взаимного пересечения, а затем соединить точки пересечения дуг прямой линией.