Номер 5, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5. Докажите свойства параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Докажем основные свойства, вытекающие из этого определения.

Свойство 1: Противоположные стороны параллелограмма равны.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. По определению, его противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

Проведем диагональ AC. Она делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники:

1. Сторона AC — общая.

2. Угол $\angle BCA$ равен углу $\angle DAC$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.

3. Угол $\angle BAC$ равен углу $\angle DCA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC.

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CD$ и $BC = DA$.

Ответ: Доказано, что противоположные стороны параллелограмма равны.

Свойство 2: Противоположные углы параллелограмма равны.

Из доказательства Свойства 1 мы знаем, что $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle B = \angle D$.

Кроме того, угол $\angle A = \angle DAC + \angle CAB$, а угол $\angle C = \angle BCA + \angle ACD$.

Так как при доказательстве равенства треугольников мы установили, что $\angle DAC = \angle BCA$ и $\angle CAB = \angle ACD$, то, сложив эти равенства почленно, получаем: $\angle DAC + \angle CAB = \angle BCA + \angle ACD$, что равносильно $\angle A = \angle C$.

Таким образом, противоположные углы параллелограмма равны.

Ответ: Доказано, что противоположные углы параллелограмма равны.

Свойство 3: Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Сторона $AB = CD$ (как противоположные стороны параллелограмма, по Свойству 1).

2. Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle OCD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).

3. Угол $\angle OBA$ равен углу $\angle ODC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD).

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AO = CO$ и $BO = DO$.

Это означает, что точка O является серединой каждой из диагоналей.

Ответ: Доказано, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойство 4: Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. По определению $AD \parallel BC$.

Прямая AB является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$ являются внутренними односторонними.

По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.

Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Аналогично, так как $AB \parallel DC$, то $\angle B + \angle C = 180^\circ$, и так далее для других пар соседних углов.

Ответ: Доказано, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.