Номер 8, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

8. Что такое ромб, квадрат? Какие их свойства вы знаете?

Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Иными словами, это четырёхугольник с равными по длине сторонами.

Свойства ромба:

1. Поскольку ромб является параллелограммом, он наследует все свойства параллелограмма: его противолежащие стороны параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$), противолежащие углы равны ($\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$), а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$ (например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$).

2. Все четыре стороны ромба равны между собой. Если $a$ — длина стороны, то $AB = BC = CD = DA = a$.

3. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($AC \perp BD$) и в точке пересечения делятся пополам.

4. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то есть делят углы пополам.

5. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4: $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$.

6. Площадь ромба можно вычислить несколькими способами:

- Как половину произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.

- Как произведение квадрата стороны на синус угла между сторонами: $S = a^2 \sin \alpha$.

- Как произведение стороны на высоту: $S = a \cdot h$.

Ответ: Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Его ключевые свойства: противолежащие стороны параллельны, противолежащие углы равны, диагонали пересекаются под прямым углом, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Квадрат

Квадрат — это правильный четырёхугольник. Его можно определить как прямоугольник, у которого все стороны равны, или как ромб, у которого все углы прямые ($90^\circ$).

Свойства квадрата:

Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба, поэтому он обладает всеми их свойствами одновременно.

1. Все стороны квадрата равны. $AB = BC = CD = DA = a$.

2. Все углы квадрата прямые и равны $90^\circ$.

3. Противоположные стороны параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$).

4. Диагонали квадрата равны по длине, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и являются биссектрисами его углов (делят прямые углы на два угла по $45^\circ$).

5. Длина диагонали $d$ связана со стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$.

6. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$.

7. Площадь квадрата равна квадрату его стороны $S = a^2$ или половине квадрата его диагонали $S = \frac{d^2}{2}$.

8. В квадрат можно вписать окружность, радиус которой равен $r = \frac{a}{2}$.

9. Около квадрата можно описать окружность, радиус которой равен $R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые. Его основные свойства: равенство всех сторон и углов, равенство и перпендикулярность диагоналей, которые также являются биссектрисами углов.