Номер 13, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

13. Какие точки называются замечательными точками треугольника?

Замечательные точки треугольника — это точки, положение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от выбора системы координат. Эти точки обладают рядом важных и интересных геометрических свойств. К основным замечательным точкам треугольника относятся:

Точка пересечения медиан (Центроид)

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В любом треугольнике все три медианы пересекаются в одной точке. Эта точка называется центроидом или центром масс треугольника. Свойство этой точки в том, что она делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Например, если $M$ — центроид, а $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — медианы, то выполняется соотношение $AM:MA_1 = BM:MB_1 = CM:MC_1 = 2:1$. Центроид всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Точка пересечения медиан (центроид) — это точка пересечения трёх медиан треугольника.

Точка пересечения биссектрис (Инцентр)

Биссектриса угла треугольника — это отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне. Все три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром. Инцентр является центром окружности, вписанной в треугольник, так как он равноудален от всех трех сторон треугольника. Инцентр всегда находится внутри треугольника.

Ответ: Точка пересечения биссектрис (инцентр) — это точка пересечения трёх биссектрис треугольника, являющаяся центром его вписанной окружности.

Точка пересечения серединных перпендикуляров (Центр описанной окружности)

Серединный перпендикуляр к стороне треугольника — это прямая, проходящая через середину этой стороны и перпендикулярная ей. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, описанной около треугольника, так как она равноудалена от всех трех вершин треугольника. Расположение этой точки зависит от вида треугольника:

• в остроугольном треугольнике — внутри треугольника;
• в прямоугольном треугольнике — на середине гипотенузы;
• в тупоугольном треугольнике — вне треугольника.

Ответ: Точка пересечения серединных перпендикуляров — это точка пересечения трёх серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, являющаяся центром его описанной окружности.

Точка пересечения высот (Ортоцентр)

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром. Расположение ортоцентра также зависит от вида треугольника:

• в остроугольном треугольнике — внутри треугольника;
• в прямоугольном треугольнике — совпадает с вершиной прямого угла;
• в тупоугольном треугольнике — вне треугольника.

Ответ: Точка пересечения высот (ортоцентр) — это точка пересечения трёх высот треугольника (или их продолжений).

Эти четыре точки являются наиболее известными. Важно отметить, что в равностороннем треугольнике все четыре основные замечательные точки (центроид, инцентр, ортоцентр и центр описанной окружности) совпадают.