Номер 7, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

7. Что такое прямоугольник? Назовите его свойства.

Что такое прямоугольник?

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все четыре угла прямые, то есть равны $90^\circ$. Он является частным случаем параллелограмма.

Поскольку прямоугольник — это параллелограмм, он наследует все свойства параллелограмма. Альтернативное определение прямоугольника: это параллелограмм, у которого хотя бы один угол является прямым. Из свойств параллелограмма следует, что если один угол прямой, то и все остальные углы будут прямыми.

Ответ: Прямоугольник — это четырёхугольник, все углы которого прямые ($90^\circ$).

Назовите его свойства.

Прямоугольник обладает как общими свойствами, присущими всем параллелограммам, так и своими уникальными свойствами.

Свойства, общие для всех параллелограммов:

1. Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны. Если стороны прямоугольника ABCD, то $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

2. Противоположные стороны прямоугольника равны. $AB = CD$ и $BC = AD$.

3. Диагонали прямоугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Уникальные свойства прямоугольника:

1. Все углы прямоугольника прямые и равны $90^\circ$.

2. Диагонали прямоугольника равны между собой. Если $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, то $d_1 = d_2$.

3. Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин его двух смежных сторон (следует из теоремы Пифагора). Если $a$ и $b$ — длины сторон, а $d$ — длина диагонали, то выполняется равенство: $d^2 = a^2 + b^2$. Соответственно, $d = \sqrt{a^2 + b^2}$.

4. Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. Центр этой окружности находится в точке пересечения диагоналей, а её диаметр равен длине диагонали прямоугольника.

Ответ: Основные свойства прямоугольника: противоположные стороны попарно параллельны и равны; все углы прямые ($90^\circ$); диагонали равны, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.