Номер 6, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. Докажите признаки параллелограмма.

Признак 1: Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: $ABCD$ — четырехугольник, в котором $AB = CD$ и $AB \parallel CD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ $AC$, которая разделяет четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники. У них: 1) $AB = CD$ по условию, 2) $AC$ — общая сторона, 3) $\angle BAC = \angle DCA$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых $BC$ и $AD$ секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Мы имеем, что в четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ (по условию) и $BC \parallel AD$ (по доказанному). По определению, такой четырехугольник является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.

Признак 2: Если в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: $ABCD$ — четырехугольник, в котором $AB = CD$ и $BC = AD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Проведем диагональ $AC$, которая делит четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Рассмотрим эти треугольники. У них: 1) $AB = CD$ по условию, 2) $BC = AD$ по условию, 3) $AC$ — общая сторона.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$.

Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$.

Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $BC \parallel AD$.

В четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, $ABCD$ — параллелограмм по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.

Признак 3: Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: $ABCD$ — четырехугольник, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$.

Доказать: $ABCD$ — параллелограмм.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$. У них: 1) $AO = OC$ по условию, 2) $BO = OD$ по условию, 3) $\angle AOB = \angle COD$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$.

Углы $\angle OAB$ (или $\angle CAB$) и $\angle OCD$ (или $\angle ACD$) являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как эти углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ две стороны ($AB$ и $CD$) равны и параллельны. По первому признаку параллелограмма, такой четырехугольник является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак доказан.