Номер 12, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Докажите теорему о средней линии трапеции.

Теорема о средней линии трапеции

Формулировка теоремы: Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

Дано:

ABCD — трапеция, где основания BC || AD. Точка M — середина боковой стороны AB, точка N — середина боковой стороны CD. MN — средняя линия трапеции.

Доказать:

1) MN || AD и MN || BC

2) $MN = \frac{AD + BC}{2}$

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение. Проведем прямую через вершину B и точку N (середину стороны CD). Продлим эту прямую до пересечения с прямой, содержащей основание AD, в точке E.

2. Рассмотрим треугольники $\Delta BCN$ и $\Delta EDN$. У этих треугольников:

а) CN = ND, так как N — середина отрезка CD по условию.

б) $\angle BNC = \angle END$, так как эти углы являются вертикальными.

в) $\angle BCN = \angle EDN$, так как это накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых BC и AE (прямая AD) секущей CD.

3. Таким образом, треугольник $\Delta BCN$ равен треугольнику $\Delta EDN$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: BC = ED и BN = NE.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\Delta ABE$. Отрезок MN в этом треугольнике соединяет середины двух его сторон:

- Точка M является серединой стороны AB (по условию).

- Точка N является серединой стороны BE (поскольку из доказанного в п. 3 следует, что BN = NE).

5. Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника $\Delta ABE$ по определению.

6. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна ее половине. Отсюда следуют два вывода для отрезка MN:

- MN || AE. Так как прямая AE содержит основание AD, то MN || AD. Поскольку по условию AD || BC, то и MN || BC. Первая часть теоремы доказана.

- $MN = \frac{1}{2} AE$.

7. Найдем длину отрезка AE. Она равна сумме длин отрезков AD и DE, то есть $AE = AD + DE$. Так как из равенства треугольников (п. 3) мы установили, что DE = BC, то можем заменить DE на BC: $AE = AD + BC$.

8. Подставим полученное выражение для AE в формулу для длины MN: $MN = \frac{1}{2} AE = \frac{1}{2} (AD + BC) = \frac{AD + BC}{2}$. Вторая часть теоремы доказана.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Ответ: Теорема доказана. Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, параллельна основаниям, а ее длина равна полусумме длин оснований.