Номер 18, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

18. Что такое косинус, синус и тангенс острого угла?

Синус, косинус и тангенс острого угла — это тригонометрические функции, которые выражают зависимость между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Для определения этих функций рассмотрим прямоугольный треугольник и один из его острых углов, который обозначим `$\alpha$`. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой (`c`). Две другие стороны называются катетами. Катет, лежащий напротив угла `$\alpha$`, называется противолежащим (`a`), а катет, являющийся одной из сторон угла `$\alpha$`, — прилежащим (`b`).

Косинус

Косинусом острого угла `$\alpha$` в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего к этому углу катета к длине гипотенузы.

Формула для вычисления косинуса угла `$\alpha$`:

$\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{c}$

Значение косинуса острого угла всегда меньше 1, так как катет всегда короче гипотенузы.

Ответ: Косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Синус

Синусом острого угла `$\alpha$` в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы.

Формула для вычисления синуса угла `$\alpha$`:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{a}{c}$

Как и косинус, синус острого угла всегда меньше 1.

Ответ: Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенс

Тангенсом острого угла `$\alpha$` в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине прилежащего катета.

Формула для вычисления тангенса угла `$\alpha$`:

$\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b}$

Тангенс также можно выразить через синус и косинус этого же угла, так как $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{a/c}{b/c} = \frac{a}{b}$. Таким образом:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Значение тангенса острого угла может быть любым положительным числом.

Ответ: Тангенс острого угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.