Номер 25, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

25. По каким формулам определяются площади параллелограмма, треугольника и трапеции? Докажите их.

Параллелограмм

Площадь параллелограмма определяется несколькими формулами, основная из которых:

1. Произведение его основания на высоту: $S = a \cdot h_a$, где $a$ – сторона параллелограмма, а $h_a$ – высота, проведенная к этой стороне.

2. Произведение двух смежных сторон на синус угла между ними: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ – стороны, а $\alpha$ – угол между ними.

3. Полупроизведение его диагоналей на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\gamma)$, где $d_1$ и $d_2$ – диагонали, а $\gamma$ – угол между ними.

Доказательство формулы $S = a \cdot h_a$:

Рассмотрим параллелограмм ABCD со стороной $AD = a$. Проведем из вершин B и C высоты BH и CK на прямую AD. Длина этих высот равна $h$. Фигура HBCK является прямоугольником, так как $BH \parallel CK$ (как перпендикуляры к одной прямой) и $BC \parallel HK$ (как лежащие на параллельных прямых). Прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету: $AB = DC$ как противолежащие стороны параллелограмма, и $BH = CK$ как расстояние между параллельными прямыми. Площадь параллелограмма ABCD равна площади фигуры, составленной из треугольника ABH и трапеции HBCD. Так как $\triangle ABH = \triangle DCK$, то площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника HBCK. Площадь прямоугольника HBCK равна произведению его сторон: $S_{HBCK} = HK \cdot BH$. Так как $HK = HC + CK$ и $BC = AD$, а в нашем случае $HK=BC=a$ (если высоты падают на основание) или $HK = HD+DK = HD+AH = AD = a$. В общем случае, длина стороны HK прямоугольника равна длине основания AD параллелограмма, то есть $a$. Следовательно, площадь параллелограмма равна $S = AD \cdot BH = a \cdot h_a$, что и требовалось доказать.

Ответ: $S = a \cdot h_a$

Треугольник

Площадь треугольника определяется по следующим основным формулам:

1. Полупроизведение его основания на высоту: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$, где $a$ – сторона треугольника, а $h_a$ – высота, проведенная к ней.

2. Полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ – стороны, а $\gamma$ – угол между ними.

3. Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ – стороны треугольника, а $p = \frac{a+b+c}{2}$ – его полупериметр.

Доказательство формулы $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$:

Возьмем произвольный треугольник ABC. Пусть сторона $AC = a$, и к ней проведена высота $BH = h_a$. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC, проведя через вершину B прямую, параллельную AC, и через вершину C прямую, параллельную AB. Треугольник ABC равен треугольнику DCB по трем сторонам (BC – общая, $AB = DC$ и $AC = DB$ как противолежащие стороны параллелограмма). Следовательно, площадь параллелограмма ABDC в два раза больше площади треугольника ABC: $S_{ABDC} = 2 \cdot S_{ABC}$. Площадь параллелограмма ABDC равна произведению его основания на высоту. Основание $AC = a$, а высота, проведенная к нему, совпадает с высотой треугольника $BH = h_a$. Таким образом, $S_{ABDC} = a \cdot h_a$. Так как $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABDC}$, получаем $S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h_a$, что и требовалось доказать.

Ответ: $S = \frac{1}{2} a \cdot h_a$

Трапеция

Площадь трапеции определяется формулой:

Произведение полусуммы ее оснований на высоту: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ – длины оснований трапеции, а $h$ – ее высота.

Эту формулу также можно записать как произведение средней линии трапеции на высоту: $S = m \cdot h$, так как средняя линия $m = \frac{a+b}{2}$.

Доказательство формулы $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$:

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями $AD = a$ и $BC = b$. Проведем высоту $h$. Проведем диагональ AC, которая разбивает трапецию на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Площадь трапеции равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$. Площадь треугольника ADC равна полупроизведению его основания AD на высоту, проведенную из вершины C. Эта высота равна высоте трапеции $h$. $S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} a \cdot h$. Площадь треугольника ABC равна полупроизведению его основания BC на высоту, проведенную из вершины A. Эта высота также равна высоте трапеции $h$. $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h = \frac{1}{2} b \cdot h$. Теперь сложим площади этих треугольников: $S_{ABCD} = S_{ADC} + S_{ABC} = \frac{1}{2} a \cdot h + \frac{1}{2} b \cdot h = \frac{1}{2}(a+b)h = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Формула доказана.

Ответ: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$