Номер 32, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

32. Напишите формулы приведения.

Формулы приведения в тригонометрии используются для выражения тригонометрических функций углов вида $ \frac{k\pi}{2} \pm \alpha $ (где $ k $ — целое число) через функции острого угла $ \alpha $. Для их вывода и запоминания удобно использовать следующее мнемоническое правило.

Мнемоническое правило:

1. Определение знака. Знак у конечной функции совпадает со знаком исходной функции в той координатной четверти, где находится угол $ \frac{k\pi}{2} \pm \alpha $. При этом угол $ \alpha $ по умолчанию считается острым (из первой четверти).

2. Определение функции.

- Если в исходном угле присутствуют $ \pi $ или $ 2\pi $ (точки на горизонтальной оси единичной окружности), то название функции не меняется.

- Если в исходном угле присутствуют $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (точки на вертикальной оси единичной окружности), то название функции меняется на кофункцию: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.

Пример применения правила:

Найдем $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $.

1. Знак: Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в IV четверти. Исходная функция — косинус. Косинус в IV четверти положителен. Значит, у результата будет знак "+".

2. Функция: В формуле присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, значит, функция меняется на кофункцию: $ \cos $ на $ \sin $.

Объединяя, получаем: $ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = +\sin\alpha $.

Ниже приведены все основные формулы приведения, сгруппированные по типу угла.

Ответ:

Свойства четности / нечетности (угол $ -\alpha $):

$ \sin(-\alpha) = -\sin\alpha $

$ \cos(-\alpha) = \cos\alpha $

$ \tan(-\alpha) = -\tan\alpha $

$ \cot(-\alpha) = -\cot\alpha $

Углы $ \frac{\pi}{2} \pm \alpha $ ( $ 90^\circ \pm \alpha $ ):

$ \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos\alpha $

$ \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin\alpha $

$ \tan(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha $

$ \cot(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha $

$ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \cos\alpha $

$ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin\alpha $

$ \tan(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha $

$ \cot(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha $

Углы $ \pi \pm \alpha $ ( $ 180^\circ \pm \alpha $ ):

$ \sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha $

$ \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha $

$ \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha $

$ \cot(\pi - \alpha) = -\cot\alpha $

$ \sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha $

$ \cos(\pi + \alpha) = -\cos\alpha $

$ \tan(\pi + \alpha) = \tan\alpha $

$ \cot(\pi + \alpha) = \cot\alpha $

Углы $ \frac{3\pi}{2} \pm \alpha $ ( $ 270^\circ \pm \alpha $ ):

$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos\alpha $

$ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin\alpha $

$ \tan(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cot\alpha $

$ \cot(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \tan\alpha $

$ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha $

$ \cos(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = \sin\alpha $

$ \tan(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cot\alpha $

$ \cot(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\tan\alpha $

Углы $ 2\pi \pm \alpha $ ( $ 360^\circ \pm \alpha $ ):

$ \sin(2\pi - \alpha) = -\sin\alpha $

$ \cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha $

$ \tan(2\pi - \alpha) = -\tan\alpha $

$ \cot(2\pi - \alpha) = -\cot\alpha $

$ \sin(2\pi + \alpha) = \sin\alpha $

$ \cos(2\pi + \alpha) = \cos\alpha $

$ \tan(2\pi + \alpha) = \tan\alpha $

$ \cot(2\pi + \alpha) = \cot\alpha $