Номер 6, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

6. Докажите единственность разложения вектора по базису.

6. Для доказательства единственности разложения вектора по базису необходимо сначала определить ключевые понятия. Пусть $V$ — это $n$-мерное векторное пространство, а $B = \{\vec{e_1}, \vec{e_2}, \ldots, \vec{e_n}\}$ — базис в этом пространстве. Это означает, что векторы $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \ldots, \vec{e_n}$ являются линейно независимыми и любой вектор $\vec{a}$ из пространства $V$ можно представить в виде их линейной комбинации: $\vec{a} = x_1\vec{e_1} + x_2\vec{e_2} + \ldots + x_n\vec{e_n}$. Числа $x_1, x_2, \ldots, x_n$ называются координатами вектора $\vec{a}$ в базисе $B$. Требуется доказать, что этот набор координат для каждого вектора $\vec{a}$ является единственным.

Воспользуемся методом доказательства от противного. Предположим, что разложение вектора $\vec{a}$ по базису $B$ не является единственным. Это значит, что существуют два различных набора координат $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$ и $\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}$, такие, что одновременно верны два равенства: $\vec{a} = x_1\vec{e_1} + x_2\vec{e_2} + \ldots + x_n\vec{e_n}$ и $\vec{a} = y_1\vec{e_1} + y_2\vec{e_2} + \ldots + y_n\vec{e_n}$. Различие наборов координат означает, что существует по крайней мере один индекс $i$ ($1 \le i \le n$), для которого $x_i \neq y_i$.

Поскольку обе линейные комбинации равны одному и тому же вектору $\vec{a}$, мы можем их приравнять: $x_1\vec{e_1} + x_2\vec{e_2} + \ldots + x_n\vec{e_n} = y_1\vec{e_1} + y_2\vec{e_2} + \ldots + y_n\vec{e_n}$. Перенесем все члены в левую часть равенства и сгруппируем их по базисным векторам: $(x_1\vec{e_1} - y_1\vec{e_1}) + (x_2\vec{e_2} - y_2\vec{e_2}) + \ldots + (x_n\vec{e_n} - y_n\vec{e_n}) = \vec{0}$. Вынося общие векторные множители, получаем: $(x_1 - y_1)\vec{e_1} + (x_2 - y_2)\vec{e_2} + \ldots + (x_n - y_n)\vec{e_n} = \vec{0}$.

Полученное выражение представляет собой линейную комбинацию базисных векторов, равную нулевому вектору. Согласно определению базиса, векторы $\vec{e_1}, \vec{e_2}, \ldots, \vec{e_n}$ являются линейно независимыми. По определению линейной независимости, равенство линейной комбинации этих векторов нулю возможно только в том случае, когда все ее коэффициенты равны нулю. Следовательно, для всех $k$ от 1 до $n$ должно выполняться равенство $x_k - y_k = 0$, из которого следует, что $x_k = y_k$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что $x_1 = y_1, x_2 = y_2, \ldots, x_n = y_n$. Это означает, что два набора координат полностью совпадают, что прямо противоречит нашему исходному предположению о их различии. Это противоречие доказывает, что наше предположение было неверным.

Следовательно, разложение любого вектора по заданному базису является единственным, что и требовалось доказать.

Ответ: Единственность разложения вектора по базису доказана.