Номер 12, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

12. Докажите теорему синусов.

Теорема синусов: Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и это отношение равно диаметру описанной окружности.

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$, где $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, и противолежащими им углами $A, B, C$ соответственно. $R$ — радиус описанной около треугольника окружности. Тогда:$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$

Доказательство.

Доказательство можно провести в два этапа.

Этап 1: Доказательство равенства отношений $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.

Воспользуемся формулой площади треугольника. Площадь $S$ треугольника $ABC$ может быть выражена через две стороны и синус угла между ними тремя способами:$$ S = \frac{1}{2} ab \sin C, \quad S = \frac{1}{2} bc \sin A, \quad S = \frac{1}{2} ac \sin B $$Так как все три выражения равны одной и той же площади $S$, мы можем их приравнять:$$ \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ac \sin B = \frac{1}{2} ab \sin C $$Разделим все части этого двойного равенства на выражение $\frac{1}{2}abc$ (это можно сделать, так как для любого треугольника длины сторон $a, b, c$ не равны нулю):$$ \frac{bc \sin A}{abc} = \frac{ac \sin B}{abc} = \frac{ab \sin C}{abc} $$После сокращения дробей получаем:$$ \frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} $$Это равенство эквивалентно следующему:$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

Этап 2: Доказательство равенства $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

Теперь докажем, что каждое из полученных отношений равно $2R$. Возьмём для примера отношение $\frac{a}{\sin A}$. Опишем около треугольника $ABC$ окружность радиусом $R$. Проведём через вершину $B$ диаметр $BD$. Его длина $BD = 2R$. Соединим точки $D$ и $C$.

В треугольнике $BDC$ угол $\angle BCD$ является вписанным и опирается на диаметр $BD$, следовательно, $\angle BCD = 90^\circ$. Значит, треугольник $BDC$ — прямоугольный.

Рассмотрим три случая для угла $A$.

1. Угол $A$ острый ($A < 90^\circ$).

Вписанные углы $\angle BDC$ и $\angle BAC = A$ опираются на одну дугу $BC$, следовательно, $\angle BDC = A$. В прямоугольном треугольнике $BDC$ имеем $\sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} = \frac{a}{2R}$. Заменяя $\angle BDC$ на $A$, получаем $\sin A = \frac{a}{2R}$, откуда $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

2. Угол $A$ тупой ($A > 90^\circ$).

Четырёхугольник $ABDC$ вписан в окружность, значит, сумма противолежащих углов $A$ и $\angle BDC$ равна $180^\circ$. Отсюда $\angle BDC = 180^\circ - A$. Из прямоугольного треугольника $BDC$ имеем $\sin(\angle BDC) = \frac{a}{2R}$. Подставляя выражение для угла, получаем $\sin(180^\circ - A) = \frac{a}{2R}$. Так как $\sin(180^\circ - A) = \sin A$, то снова приходим к равенству $\frac{a}{\sin A} = 2R$.

3. Угол $A$ прямой ($A = 90^\circ$).

В этом случае сторона $a$ является диаметром, то есть $a = 2R$. При этом $\sin A = \sin 90^\circ = 1$. Тогда $\frac{a}{\sin A} = \frac{2R}{1} = 2R$. Равенство выполняется.

Итак, мы показали, что $\frac{a}{\sin A} = 2R$. Аналогично доказывается, что $\frac{b}{\sin B} = 2R$ и $\frac{c}{\sin C} = 2R$. Объединяя все результаты, мы приходим к окончательной формулировке теоремы.

Ответ: Теорема синусов, утверждающая, что для любого треугольника $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$, доказана.