Номер 16, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

16. Какие векторы называются направляющими и нормальными векторами прямой? Напишите соответствующие уравнения прямой.

Направляющий вектор

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, который лежит на этой прямой или параллелен ей. Если известен направляющий вектор $\vec{a} = (l, m)$ и точка на прямой $M_0(x_0, y_0)$, то прямую можно задать следующими уравнениями:

1. Каноническое уравнение прямой. Оно выражает условие коллинеарности направляющего вектора $\vec{a}$ и вектора $\vec{M_0M} = (x - x_0, y - y_0)$, где $M(x, y)$ — произвольная точка прямой.

$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m}$

2. Параметрические уравнения прямой. Они получаются из канонического, если приравнять обе части к параметру $t$:

$\begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \end{cases}$, где $t \in (-\infty, +\infty)$

3. Векторное уравнение прямой.

$\vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{a}$, где $\vec{r} = (x,y)$ — радиус-вектор произвольной точки прямой, $\vec{r_0} = (x_0, y_0)$ — радиус-вектор точки $M_0$, а $t$ — параметр.

Ответ:

Нормальный вектор

Нормальным вектором (вектором нормали) прямой на плоскости называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (ортогональный) этой прямой. Если известен нормальный вектор $\vec{n} = (A, B)$ и точка на прямой $M_0(x_0, y_0)$, то уравнение прямой можно записать, используя условие ортогональности векторов $\vec{n}$ и $\vec{M_0M} = (x-x_0, y-y_0)$, где $M(x,y)$ — произвольная точка прямой. Их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

Раскрыв скобки, получим общее уравнение прямой:

$Ax + By + C = 0$, где $C = -Ax_0 - By_0$.

Коэффициенты $A$ и $B$ в общем уравнении прямой являются координатами ее нормального вектора.