Номер 21, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

21. Что такое преобразование подобия и коэффициент подобия?

Преобразование подобия

Преобразованием подобия (или просто подобием) называется такое преобразование фигуры $F$ в фигуру $F'$, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ фигуры $F$ и их соответствующих образов $M'$ и $N'$ фигуры $F'$ выполняется соотношение:

$|M'N'| = k \cdot |MN|$

Здесь $|MN|$ — расстояние между точками $M$ и $N$, а $k$ — это некоторое положительное число, одно и то же для всех пар точек. Это означает, что при преобразовании подобия все расстояния между точками изменяются в одинаковое количество раз.

Основные свойства преобразования подобия:

• Оно сохраняет форму фигуры, но может изменять её размеры.
• Углы между линиями сохраняются (т. е. если две линии пересекались под углом $\alpha$, то их образы также пересекутся под углом $\alpha$).
• Прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, плоскости в плоскости.

Частным случаем преобразования подобия является движение (изометрия), когда $k = 1$. Самым простым примером преобразования подобия, не являющегося движением, является гомотетия (центральное подобие).

Ответ: Преобразование подобия — это такое преобразование фигуры, при котором расстояния между любыми двумя точками изменяются в одно и то же положительное число раз.

Коэффициент подобия

Коэффициентом подобия называется положительное число $k$ из определения преобразования подобия. Этот коэффициент показывает, во сколько раз расстояние между точками в новой фигуре $F'$ больше или меньше расстояния между соответствующими точками в исходной фигуре $F$.

Коэффициент подобия $k$ можно найти как отношение длин соответствующих отрезков:

$k = \frac{|M'N'|}{|MN|}$

В зависимости от значения коэффициента $k$ различают:

• Если $k > 1$, то происходит увеличение фигуры. Фигура $F'$ будет больше фигуры $F$.
• Если $0 < k < 1$, то происходит уменьшение фигуры. Фигура $F'$ будет меньше фигуры $F$.
• Если $k = 1$, то преобразование является движением (изометрией), а фигуры $F$ и $F'$ равны.

Важно отметить, что если коэффициент подобия линейных размеров равен $k$, то отношение площадей подобных фигур равно $k^2$, а отношение объемов подобных тел равно $k^3$.

Ответ: Коэффициент подобия — это положительное число $k$, которое показывает отношение расстояния между двумя точками в преобразованной фигуре к расстоянию между соответствующими точками в исходной фигуре.