Номер 28, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

28. Какими свойствами обладает касательная окружность?

Касательная к окружности обладает несколькими ключевыми свойствами:

1. Перпендикулярность радиусу

Это основное свойство касательной. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Если прямая $a$ касается окружности с центром в точке $O$ в точке $K$, то радиус $OK$ перпендикулярен прямой $a$. Математически это записывается как $OK \perp a$. Верно и обратное утверждение: если прямая, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то эта прямая является касательной к окружности.

Ответ: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки

Если из точки, лежащей вне окружности, провести две касательные к этой окружности, то длины отрезков от этой точки до точек касания будут равны. Пусть из точки $M$ проведены две касательные к окружности, касающиеся ее в точках $A$ и $B$. Тогда длины отрезков $MA$ и $MB$ равны: $MA = MB$.

Ответ: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.

3. Свойство углов, образованных касательными из одной точки

Прямая, соединяющая внешнюю точку, из которой проведены две касательные, с центром окружности, является биссектрисой угла между этими касательными. Используя обозначения из предыдущего пункта, прямая $MO$ делит угол $\angle AMB$ пополам, то есть $\angle AMO = \angle BMO$. Также эта прямая делит пополам и центральный угол $\angle AOB$, образованный радиусами, проведенными в точки касания, то есть $\angle AOM = \angle BOM$.

Ответ: Линия, соединяющая центр окружности с точкой, из которой проведены две касательные, является биссектрисой угла между этими касательными.

4. Угол между касательной и хордой

Угол, образованный касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла. Если в точке касания $A$ проведена хорда $AB$, то угол между касательной и хордой $AB$ равен половине угловой величины дуги $AB$, стягиваемой этой хордой. Этот угол также равен любому вписанному углу, который опирается на эту дугу.

Ответ: Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

5. Теорема о касательной и секущей

Квадрат длины отрезка касательной, проведенной из некоторой точки к окружности, равен произведению длин отрезков секущей, проведенной из той же точки. Если из точки $P$ вне окружности проведена касательная, касающаяся окружности в точке $T$, и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (причем точка $A$ лежит между $P$ и $B$), то выполняется равенство: $PT^2 = PA \cdot PB$.

Ответ: Квадрат отрезка касательной из точки до точки касания равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки ($PT^2 = PA \cdot PB$).