Номер 35, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

35. Как определяется угол между двумя секущими окружности?

35. Угол между двумя пересекающимися (секущими) окружностями — это угол, образованный касательными к этим окружностям, проведенными в одной из их точек пересечения.

Пусть две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекаются в точках $A$ и $B$.

Чтобы найти угол между ними, нужно:

1. Выбрать одну из точек пересечения, например, точку $A$.
2. Провести в этой точке касательную $l_1$ к окружности $\omega_1$.
3. Провести в этой же точке касательную $l_2$ к окружности $\omega_2$.

Углом между окружностями будет считаться острый (или прямой) угол $\phi$ между касательными $l_1$ и $l_2$. Величина этого угла будет одинаковой для обеих точек пересечения ($A$ и $B$) из-за симметрии.

Этот угол также можно найти с помощью теоремы косинусов. Пусть:

• $O_1$ и $r_1$ — центр и радиус первой окружности.
• $O_2$ и $r_2$ — центр и радиус второй окружности.
• $d$ — расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$.
• $A$ — точка пересечения окружностей.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AO_2$. Его стороны равны $r_1$, $r_2$ и $d$.

Касательная к окружности в точке $A$ перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Угол $\phi$ между касательными будет равен углу $\angle O_1AO_2$ в треугольнике $\triangle O_1AO_2$.

По теореме косинусов для треугольника $\triangle O_1AO_2$:

$d^2 = r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\angle O_1AO_2)$

Отсюда можно выразить косинус искомого угла $\phi = \angle O_1AO_2$:

$\cos(\phi) = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$

Частный случай: если угол между окружностями равен $90^\circ$, они называются ортогональными. Для них $\cos(\phi) = 0$, и условие ортогональности принимает вид:

$r_1^2 + r_2^2 - d^2 = 0 \implies d^2 = r_1^2 + r_2^2$

Это означает, что радиусы, проведенные в точку пересечения, перпендикулярны, и $\triangle O_1AO_2$ является прямоугольным.

Ответ: Угол между двумя секущими окружностями определяется как угол между касательными к этим окружностям, проведенными в их точке пересечения. Его можно вычислить по формуле $\cos(\phi) = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2r_1r_2}$, где $r_1$ и $r_2$ — радиусы окружностей, а $d$ — расстояние между их центрами.