Номер 39, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

39. Чему равно отношение площадей подобных треугольников, подобных многоугольников?

Отношение площадей подобных фигур (треугольников, многоугольников) является фундаментальным свойством в геометрии. Рассмотрим оба случая подробно.

Отношение площадей подобных треугольников

Пусть даны два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Подобие означает, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия и обозначается как $k$.

Таким образом, $\angle A = \angle A_1, \angle B = \angle B_1, \angle C = \angle C_1$ и

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{C_1A_1}{CA} = k$.

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ – две стороны, а $\gamma$ – угол между ними.

Найдем площади наших треугольников:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$

$S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin A_1$

Теперь найдем отношение их площадей:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin A_1}{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A}$

Так как $\angle A = \angle A_1$, то $\sin A = \sin A_1$. Из соотношений сторон имеем $A_1B_1 = k \cdot AB$ и $A_1C_1 = k \cdot AC$. Подставим эти выражения в формулу отношения площадей:

$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = \frac{(k \cdot AB) \cdot (k \cdot AC)}{AB \cdot AC} = \frac{k^2 \cdot AB \cdot AC}{AB \cdot AC} = k^2$.

Таким образом, отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Ответ: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$).

Отношение площадей подобных многоугольников

Рассмотрим два подобных многоугольника с $n$ сторонами, $P$ и $P'$. Коэффициент подобия равен $k$. Это означает, что все их соответствующие углы равны, а все соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом $k$.

Любой выпуклый $n$-угольник можно разбить на $n-2$ треугольника, проведя диагонали из одной вершины. Проведем такое разбиение для обоих многоугольников из соответствующих вершин.

В результате многоугольник $P$ будет разбит на треугольники $T_1, T_2, ..., T_{n-2}$, а многоугольник $P'$ — на треугольники $T'_1, T'_2, ..., T'_{n-2}$.

Можно доказать (например, по индукции, используя признак подобия по двум сторонам и углу между ними), что каждая пара соответствующих треугольников $(T_i, T'_i)$ подобна с тем же коэффициентом подобия $k$.

Площадь каждого многоугольника равна сумме площадей треугольников, на которые он разбит:

$S_P = S_{T_1} + S_{T_2} + ... + S_{T_{n-2}}$

$S_{P'} = S_{T'_1} + S_{T'_2} + ... + S_{T'_{n-2}}$

Поскольку для каждой пары подобных треугольников $T_i$ и $T'_i$ отношение их площадей равно $k^2$, мы можем написать: $S_{T'_i} = k^2 \cdot S_{T_i}$ для всех $i = 1, ..., n-2$.

Тогда площадь многоугольника $P'$ можно выразить так:

$S_{P'} = k^2 \cdot S_{T_1} + k^2 \cdot S_{T_2} + ... + k^2 \cdot S_{T_{n-2}} = k^2 (S_{T_1} + S_{T_2} + ... + S_{T_{n-2}}) = k^2 \cdot S_P$.

Отсюда находим отношение площадей многоугольников:

$\frac{S_{P'}}{S_P} = k^2$.

Этот результат справедлив и для невыпуклых многоугольников.

Ответ: Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия ($k^2$).