Номер 36, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

36. Чему равна сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника?

Для нахождения искомой суммы рассмотрим выпуклый многоугольник, у которого $n$ сторон и, соответственно, $n$ вершин.

В каждой вершине многоугольника есть внутренний угол и смежный с ним внешний угол. Вместе они образуют развернутый угол, поэтому их сумма всегда равна $180^\circ$.

Поскольку в многоугольнике $n$ вершин, то общая сумма всех внутренних и всех внешних углов будет равна сумме углов для каждой из $n$ вершин. В каждой из $n$ вершин эта сумма составляет $180^\circ$.

Таким образом, общая сумма $S$ вычисляется как произведение количества вершин на $180^\circ$: $S = \underbrace{180^\circ + 180^\circ + \dots + 180^\circ}_{n \text{ раз}} = n \cdot 180^\circ$

Этот же результат можно получить и другим способом, сложив известные суммы внутренних и внешних углов по отдельности.

• Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле: $S_{внутр} = 180^\circ \cdot (n - 2)$.
• Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника (если брать по одному при каждой вершине) всегда постоянна и равна $360^\circ$.

Сложив эти две величины, получим общую сумму: $S_{общая} = S_{внутр} + S_{внешн} = (180^\circ \cdot (n - 2)) + 360^\circ$

Раскроем скобки и упростим выражение: $S_{общая} = 180^\circ \cdot n - 360^\circ + 360^\circ = 180^\circ \cdot n$

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами равна $180^\circ \cdot n$.