Номер 42, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

42. Как определяются площади сектора и сегмента?

Площадь сектора

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой между ними. Площадь сектора зависит от радиуса круга $R$ и центрального угла $\alpha$, который стягивает дуга сектора.

Площадь сектора является частью площади всего круга ($S_{круга} = \pi R^2$). Эта часть пропорциональна величине центрального угла.

1. Если центральный угол $\alpha$ измеряется в градусах, то полному кругу соответствует угол в 360°. Площадь сектора составляет долю $\frac{\alpha}{360}$ от площади всего круга. Формула для вычисления площади сектора:

$S_{сектора} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360}$ или $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$

2. Если центральный угол $\alpha$ измеряется в радианах, то полному кругу соответствует угол в $2\pi$ радиан. Площадь сектора составляет долю $\frac{\alpha}{2\pi}$ от площади всего круга. Формула упрощается:

$S_{сектора} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{2\pi} = \frac{R^2 \alpha}{2}$

3. Также площадь сектора можно найти, зная его радиус $R$ и длину дуги $L$.

$S_{сектора} = \frac{1}{2}RL$

Ответ: Площадь кругового сектора определяется по формулам $S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$ (где $\alpha$ — угол в градусах) или $S_{сектора} = \frac{1}{2} R^2 \alpha$ (где $\alpha$ — угол в радианах).

Площадь сегмента

Круговой сегмент — это часть круга, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой.

Площадь сегмента проще всего найти, как разность площади соответствующего кругового сектора и площади равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и данной хордой.

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle}$

Пусть $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол, опирающийся на дугу сегмента.

1. Площадь сектора, как мы выяснили, равна $S_{сектора} = \frac{1}{2} R^2 \alpha$ (если $\alpha$ в радианах).

2. Площадь треугольника, образованного двумя радиусами $R$ и углом $\alpha$ между ними, вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha$.

Объединив эти две формулы, получаем общую формулу для площади сегмента:

$S_{сегмента} = \frac{1}{2} R^2 \alpha - \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin\alpha)$

В этой формуле угол $\alpha$ обязательно должен быть выражен в радианах.

Если угол $\alpha$ задан в градусах, то формула будет выглядеть так:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2} R^2 \sin\alpha = R^2 \left( \frac{\pi \alpha}{360} - \frac{\sin\alpha}{2} \right)$

Эта формула верна для сегмента, который меньше полукруга (т.е. $\alpha < 180^\circ$). Если сегмент больше полукруга, его площадь находят, прибавляя площадь треугольника к площади сектора: $S_{сегмента} = S_{сектора} + S_{\triangle}$.

Ответ: Площадь кругового сегмента определяется как разность площадей сектора и треугольника: $S_{сегмента} = \frac{1}{2} R^2 (\alpha - \sin\alpha)$, где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол в радианах.