Номер 48, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

48. Какова зависимость между сторонами и диагоналями вписанного четырехугольника?

Зависимость между сторонами и диагоналями вписанного четырехугольника описывается теоремой Птолемея.

Формулировка теоремы: Произведение длин диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений длин его противоположных сторон.

Пусть имеется вписанный четырехугольник ABCD. Обозначим длины его последовательных сторон как $a = AB$, $b = BC$, $c = CD$ и $d = DA$. Пусть длины его диагоналей равны $p = AC$ и $q = BD$.

Тогда, согласно теореме Птолемея, выполняется следующее равенство:

$$p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$$

Доказательство:

Рассмотрим вписанный четырехугольник ABCD.

1. На диагонали $AC$ выберем точку $K$ так, чтобы угол $\angle ABK$ был равен углу $\angle CBD$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle DBC$.

- $\angle ABK = \angle DBC$ по построению.

- $\angle BAK$ (тот же угол, что и $\angle BAC$) и $\angle BDC$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, $\angle BAK = \angle BDC$.

- Поскольку два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам): $\triangle ABK \sim \triangle DBC$.

- Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB}{DB} = \frac{AK}{DC}$. Отсюда получаем $AB \cdot DC = DB \cdot AK$. В наших обозначениях: $a \cdot c = q \cdot AK$. (1)

3. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$.

- $\angle ABD = \angle ABC - \angle DBC$.

- $\angle KBC = \angle ABC - \angle ABK$.

- Так как по построению $\angle DBC = \angle ABK$, то $\angle ABD = \angle KBC$.

- $\angle ADB$ и $\angle ACB$ (тот же угол, что и $\angle KCB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $AB$. Следовательно, $\angle ADB = \angle KCB$.

- Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle KBC$ также подобны по двум углам: $\triangle ABD \sim \triangle KBC$.

- Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AD}{KC} = \frac{BD}{BC}$. Отсюда получаем $AD \cdot BC = BD \cdot KC$. В наших обозначениях: $d \cdot b = q \cdot KC$. (2)

4. Сложим равенства (1) и (2), полученные из подобия треугольников:

$a \cdot c + b \cdot d = q \cdot AK + q \cdot KC$

Вынесем общий множитель $q$ за скобки:

$a \cdot c + b \cdot d = q \cdot (AK + KC)$

5. Так как точка $K$ по построению лежит на отрезке $AC$, то сумма длин отрезков $AK$ и $KC$ равна длине всего отрезка $AC$, то есть $AK + KC = AC = p$.

6. Подставляя это в предыдущее равенство, получаем искомую формулу:

$a \cdot c + b \cdot d = p \cdot q$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Зависимость между сторонами $a, b, c, d$ и диагоналями $p, q$ вписанного четырехугольника выражается теоремой Птолемея: произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, что записывается формулой $p \cdot q = a \cdot c + b \cdot d$.