Номер 46, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

46. Как определить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный)?

Вид треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) определяется величиной его углов. Существует два основных способа определить вид треугольника: по известным углам или по известным сторонам.

Определение по известным углам

Если известны величины углов треугольника, его вид определяется очень просто. Классификация основана на величине самого большого угла.

• Если все три угла треугольника острые (то есть меньше $90^\circ$), то треугольник является остроугольным.
• Если один из углов треугольника прямой (равен $90^\circ$), то треугольник является прямоугольным. Два других угла в таком треугольнике всегда острые.
• Если один из углов треугольника тупой (больше $90^\circ$), то треугольник является тупоугольным. Два других угла всегда острые.

Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$, поэтому в треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла.

Ответ: Если все углы меньше $90^\circ$, треугольник остроугольный; если один угол равен $90^\circ$ — прямоугольный; если один угол больше $90^\circ$ — тупоугольный.

Определение по известным сторонам

Если известны длины трех сторон треугольника $a, b, c$, его вид можно определить с помощью следствия из теоремы косинусов, которое является обобщением теоремы Пифагора.

1. Сначала нужно найти самую длинную сторону. Обозначим ее как $c$. Две другие стороны будут $a$ и $b$. Таким образом, $c \ge a$ и $c \ge b$.

2. Затем нужно сравнить квадрат длины самой длинной стороны ($c^2$) с суммой квадратов длин двух других сторон ($a^2 + b^2$).

• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то угол, противолежащий самой длинной стороне, — острый. Поскольку это самый большой угол в треугольнике, все остальные углы также острые. Следовательно, треугольник — остроугольный.
• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то угол, противолежащий самой длинной стороне, — прямой. Это следует из теоремы, обратной теореме Пифагора. Следовательно, треугольник — прямоугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то угол, противолежащий самой длинной стороне, — тупой. Следовательно, треугольник — тупоугольный.

Перед применением этого правила важно убедиться, что из данных сторон вообще можно составить треугольник, проверив неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$).

Ответ: Если $c$ — наибольшая сторона, то при $c^2 < a^2 + b^2$ треугольник остроугольный, при $c^2 = a^2 + b^2$ — прямоугольный, а при $c^2 > a^2 + b^2$ — тупоугольный.