Номер 43, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

43. Как вычисляется площадь правильного многоугольника?

Площадь правильного многоугольника можно вычислить несколькими способами в зависимости от известных данных. В основе большинства формул лежит метод разделения многоугольника на $n$ равных равнобедренных треугольников, сходящихся в центре многоугольника. Площадь многоугольника является суммой площадей этих треугольников.

Существует несколько основных формул для вычисления площади.

1. Через периметр и апофему

Это наиболее общая формула. Апофема — это перпендикуляр, опущенный из центра многоугольника на одну из его сторон. Она также является радиусом вписанной окружности. Площадь равна половине произведения периметра многоугольника на его апофему.

Формула имеет вид: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$, где $S$ – площадь, $P$ – периметр ($P=n \cdot a$, где $n$ – число сторон, а $a$ – длина стороны), $r$ – апофема (или радиус вписанной окружности).

Ответ: $S = \frac{1}{2} P \cdot r$

2. Через количество и длину стороны

Если известны только количество сторон $n$ и длина стороны $a$, можно использовать тригонометрические функции. Эта формула является одной из наиболее часто используемых на практике.

Формула: $S = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$. Эту же формулу можно записать с использованием котангенса: $S = \frac{n \cdot a^2}{4} \cot(\frac{180^\circ}{n})$.

Ответ: $S = \frac{n \cdot a^2}{4 \tan(\frac{180^\circ}{n})}$

3. Через количество сторон и радиус описанной окружности

Если известен радиус $R$ описанной окружности (расстояние от центра до вершины) и количество сторон $n$, площадь можно найти, вычислив площадь одного из $n$ равнобедренных треугольников с боковыми сторонами $R$ и углом между ними $\frac{360^\circ}{n}$. Площадь такого треугольника равна $\frac{1}{2} R^2 \sin(\frac{360^\circ}{n})$. Умножив на $n$, получим общую площадь.

Формула: $S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{360^\circ}{n})$.

Ответ: $S = \frac{1}{2} n R^2 \sin(\frac{360^\circ}{n})$

4. Через количество сторон и радиус вписанной окружности (апофему)

Если известен радиус $r$ вписанной окружности (апофема) и количество сторон $n$, площадь также можно вычислить напрямую, не находя длину стороны.

Формула: $S = n r^2 \tan(\frac{180^\circ}{n})$.

Ответ: $S = n r^2 \tan(\frac{180^\circ}{n})$