Номер 38, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

38. Докажите теорему об отношении длины окружности к ее диаметру. По какой формуле определяется длина окружности?

Теорема об отношении длины окружности к ее диаметру гласит, что для любой окружности отношение ее длины к ее диаметру есть одно и то же число. Это число является иррациональным и обозначается греческой буквой $\pi$ (пи).

Доказательство теоремы об отношении длины окружности к ее диаметру

Рассмотрим две произвольные окружности. Пусть длина первой окружности равна $C_1$, а ее радиус $R_1$. Для второй окружности эти величины соответственно равны $C_2$ и $R_2$.

Впишем в каждую из этих окружностей правильный $n$-угольник. Пусть $P_{n1}$ и $P_{n2}$ — их периметры.

Все правильные $n$-угольники подобны. Отношение их периметров равно отношению радиусов описанных около них окружностей (в данном случае $R_1$ и $R_2$). Следовательно, мы можем записать пропорцию:

$\frac{P_{n1}}{P_{n2}} = \frac{R_1}{R_2}$

Используя свойство пропорции, перепишем это соотношение в виде:

$\frac{P_{n1}}{R_1} = \frac{P_{n2}}{R_2}$

Теперь будем неограниченно увеличивать число сторон $n$ вписанных многоугольников ($n \to \infty$). Интуитивно понятно и строго доказывается, что периметр правильного вписанного $n$-угольника $P_n$ стремится к длине окружности $C$ при $n \to \infty$.

Переходя к пределу в полученном равенстве, мы заменяем периметры многоугольников на длины соответствующих окружностей:

$\frac{C_1}{R_1} = \frac{C_2}{R_2}$

Это равенство можно переписать для диаметров, так как диаметр $D=2R$:

$\frac{C_1}{2R_1} = \frac{C_2}{2R_2} \implies \frac{C_1}{D_1} = \frac{C_2}{D_2}$

Поскольку окружности были выбраны произвольно, мы доказали, что отношение длины окружности к ее диаметру является постоянной величиной для всех окружностей. Эту константу и обозначают буквой $\pi$.

Ответ: Отношение длины окружности $C$ к ее диаметру $D$ является постоянной величиной, равной числу $\pi$. То есть $\frac{C}{D} = \pi$.

По какой формуле определяется длина окружности?

Формула для определения длины окружности напрямую следует из доказанной теоремы.

Мы установили, что $\frac{C}{D} = \pi$.

Выразив из этого равенства длину окружности $C$, получим первую формулу:

$C = \pi D$

Так как диаметр $D$ равен двум радиусам ($D=2R$), мы можем подставить это выражение в формулу и получить формулу для длины окружности через ее радиус $R$:

$C = \pi \cdot (2R) = 2\pi R$

Ответ: Длина окружности определяется по формуле $C = \pi D$ (через диаметр) или $C = 2\pi R$ (через радиус).