Номер 32, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

32. Что такое вписанный угол и центральный угол окружности и каковы их свойства?

Что такое центральный угол окружности

Центральным углом окружности называется угол, вершина которого совпадает с центром этой окружности, а стороны являются её радиусами. Стороны угла пересекают окружность в двух точках, которые ограничивают дугу окружности. Градусная мера центрального угла по определению равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Если точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O$, то $\angle AOB$ является центральным углом, и его величина равна градусной мере дуги $AB$.

Формула: $\angle AOB = \cup AB$.

Ответ: Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности, стороны которого являются радиусами. Его величина равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Что такое вписанный угол окружности

Вписанным углом окружности называется угол, вершина которого лежит на окружности, а обе стороны пересекают эту окружность. Стороны вписанного угла являются хордами окружности. Дуга, заключенная внутри вписанного угла, называется дугой, на которую он опирается.

Ответ: Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами этой окружности.

Каковы их свойства

Основные свойства, связывающие вписанные и центральные углы, а также дуги окружности:

1. Теорема о вписанном угле: Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Как следствие, вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Пусть $\angle ACB$ — вписанный угол, а $\angle AOB$ — центральный угол, опирающиеся на дугу $AB$. Тогда их связь выражается формулой: $\angle ACB = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} \angle AOB$.

2. Следствие 1: Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны между собой. Это напрямую следует из основного свойства, так как все они равны половине одной и той же дуги.

3. Следствие 2: Вписанный угол, который опирается на диаметр окружности (или на полуокружность), является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$. Это объясняется тем, что диаметр стягивает дугу в $180^\circ$, а вписанный угол равен половине этой дуги ($180^\circ / 2 = 90^\circ$).

4. Свойство вписанного четырехугольника: Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Для вписанного четырехугольника $ABCD$ верны равенства: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Ответ: Ключевые свойства: 1. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, и, соответственно, половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. 2. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. 3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. 4. Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^\circ$.