Номер 30, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

30. Какими свойствами обладает хорда и дуга окружности?

Хорда и дуга окружности — это фундаментальные элементы в геометрии, обладающие множеством взаимосвязанных свойств.

1. Равенство хорд и дуг

В одной окружности или в равных окружностях:

- Равные хорды стягивают равные дуги. Если хорда $AB$ равна хорде $CD$, то дуга $AB$ (меньшая из двух) равна дуге $CD$.

- Равные дуги стягиваются равными хордами. Если дуга $AB$ равна дуге $CD$, то хорда $AB$ равна хорде $CD$.

Ответ: Равенство хорд и равенство стягиваемых ими дуг являются эквивалентными условиями.

2. Расстояние от центра до хорды

- Равные хорды в одной окружности равноудалены от её центра.

- Хорды, равноудаленные от центра, равны между собой.

- Из двух хорд больше та, которая находится ближе к центру. Самая длинная хорда — это диаметр, так как расстояние от него до центра равно нулю.

Ответ: Чем ближе хорда к центру, тем она длиннее; равные хорды равноудалены от центра.

3. Перпендикулярность радиуса и хорды

- Радиус (или диаметр), проведённый перпендикулярно хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Если радиус $OC$ перпендикулярен хорде $AB$, он делит её в точке пересечения $M$ так, что $AM = MB$, а также делит дугу $AB$ на две равные дуги $\smile AC = \smile CB$.

- Обратное утверждение также верно: радиус, проведённый через середину хорды, перпендикулярен ей.

Ответ: Перпендикуляр из центра на хорду является одновременно и медианой, и биссектрисой для треугольника, образованного радиусами и хордой, и делит стягиваемую дугу пополам.

4. Измерение углов через дуги

- Центральный угол: Угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны пересекают окружность. Его градусная мера равна градусной мере дуги, на которую он опирается. $\angle AOB = \smile AB$.

- Вписанный угол: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами. Его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. $\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB$.

- Следствия: все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны; вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым ($90^\circ$).

- Угол между касательной и хордой: Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.

Ответ: Градусная мера дуги напрямую связана с величиной центральных и вписанных углов, опирающихся на неё.

5. Свойства пересекающихся хорд

- Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются внутри круга в точке $S$, то произведение отрезков, на которые они делятся точкой пересечения, равны: $AS \cdot SB = CS \cdot SD$.

- Угол, образованный пересекающимися хордами, равен полусумме дуг, которые он высекает на окружности. Например, $\angle ASC = \frac{1}{2} (\smile AC + \smile BD)$.

Ответ: Произведения отрезков пересекающихся хорд равны, а угол между ними равен полусумме высекаемых дуг.

6. Длина дуги

Длина дуги $L$ зависит от радиуса окружности $R$ и величины центрального угла $\alpha$, который на неё опирается.

- Если угол $\alpha$ измеряется в градусах: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$.

- Если угол $\theta$ измеряется в радианах: $L = R \theta$.

Ответ: Длина дуги прямо пропорциональна радиусу окружности и её угловой мере.