Номер 34, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

34. Чему равен угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности?

Угол между касательной и хордой, которые имеют общую точку на окружности, равен половине градусной меры дуги, заключенной внутри этого угла (то есть дуги, которую отсекает хорда). Это утверждение известно как теорема об угле между касательной и хордой.

Приведем доказательство этой теоремы.

Пусть к окружности с центром в точке $O$ в точке $A$ проведена касательная $KL$ и хорда $AM$. Требуется доказать, что угол $\angle MAL$ равен половине градусной меры дуги $\smile AM$, заключенной внутри этого угла.

Для доказательства проведем радиус $OA$ в точку касания $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA \perp KL$, и угол $\angle OAL$ равен $90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAM$. Он является равнобедренным, поскольку его стороны $OA$ и $OM$ являются радиусами одной и той же окружности ($OA = OM$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OAM = \angle OMA$.

Центральный угол $\angle AOM$ по определению равен градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть $\angle AOM = \smile AM$. Обозначим градусную меру этой дуги и центрального угла как $\alpha$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle OAM$ равна $180^\circ$:

$\angle OAM + \angle OMA + \angle AOM = 180^\circ$

Так как $\angle OAM = \angle OMA$ и $\angle AOM = \alpha$, получаем:

$2\angle OAM + \alpha = 180^\circ$

Выразим отсюда угол $\angle OAM$:

$\angle OAM = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Теперь найдем искомый угол $\angle MAL$ между касательной $KL$ и хордой $AM$. Мы рассматриваем случай, когда этот угол острый, а значит, центр окружности $O$ находится вне этого угла. Угол $\angle MAL$ можно представить как разность углов $\angle OAL$ и $\angle OAM$:

$\angle MAL = \angle OAL - \angle OAM$

Подставим известные значения:

$\angle MAL = 90^\circ - (90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 90^\circ - 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Поскольку $\alpha$ равна градусной мере дуги $\smile AM$, мы доказали, что $\angle MAL = \frac{1}{2} \smile AM$.

Доказательство остается верным и для других случаев:

• Если угол $\angle MAK$ тупой, то его величина будет равна $180^\circ - \frac{\alpha}{2}$, что соответствует половине большей дуги $360^\circ - \alpha$.
• Если хорда $AM$ является диаметром, то дуга $\smile AM$ равна $180^\circ$, а угол $\angle MAL$ будет прямым ($90^\circ$), что также удовлетворяет теореме, так как $90^\circ = \frac{1}{2} \times 180^\circ$.

Ответ: Угол между касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равен половине градусной меры дуги, которую отсекает эта хорда.