Номер 31, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

31. Сколько осей симметрии имеет окружность? А центров симметрии?

Сколько осей симметрии имеет окружность?

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, при отражении относительно которой фигура переходит сама в себя. Каждая точка фигуры при таком отражении отображается на точку той же фигуры.

В случае окружности любая прямая, которая проходит через её центр, является осью симметрии. Это объясняется тем, что все точки окружности находятся на одинаковом расстоянии (радиусе) от центра. Если провести прямую через центр, то она разделит окружность на две полуокружности, которые будут являться зеркальным отражением друг друга. Для любой точки на одной стороне от прямой найдется симметричная ей точка на другой стороне, также лежащая на окружности.

Поскольку через центр окружности можно провести бесконечное количество различных прямых (под любым углом), то окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.

Ответ: окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.

А центров симметрии?

Центром симметрии фигуры называется точка, относительно которой симметрична каждая точка фигуры. Это означает, что для любой точки $P$ на фигуре, точка $P'$, полученная в результате центральной симметрии относительно центра $S$ (то есть $S$ — середина отрезка $PP'$), также принадлежит этой фигуре. Другими словами, поворот на $180^\circ$ вокруг центра симметрии отображает фигуру на саму себя.

У окружности такая точка только одна — её геометрический центр. Если взять любую точку на окружности, то симметричная ей точка относительно центра также будет лежать на окружности (на другом конце диаметра, проходящего через исходную точку). Поворот окружности на $180^\circ$ вокруг её центра приведет к тому, что окружность совпадет сама с собой.

Если бы существовала другая точка, не совпадающая с центром окружности, которая была бы центром симметрии, то при симметрии относительно нее центр окружности переместился бы, и, следовательно, сама окружность не совпала бы со своим исходным положением. Таким образом, у окружности не может быть другого центра симметрии.

Ответ: окружность имеет один центр симметрии.