Номер 33, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

33. Как располагаются две окружности относительно друг друга? Как определяется расстояние между их центрами?

Как располагаются две окружности относительно друг друга?

Взаимное расположение двух окружностей на плоскости полностью определяется соотношением между расстоянием $d$ между их центрами и их радиусами $R_1$ и $R_2$. Пусть даны две окружности: одна с центром $O_1$ и радиусом $R_1$, другая с центром $O_2$ и радиусом $R_2$. Расстояние между центрами — это длина отрезка $O_1O_2$, то есть $d = |O_1O_2|$.

Возможны следующие случаи взаимного расположения:

• Окружности не пересекаются и лежат одна вне другой.

  Это происходит, когда расстояние между центрами больше суммы их радиусов. У них нет общих точек.

  Условие: $d > R_1 + R_2$.

• Окружности касаются внешним образом.

  Это происходит, когда расстояние между центрами в точности равно сумме их радиусов. У них есть одна общая точка (точка касания).

  Условие: $d = R_1 + R_2$.

• Окружности пересекаются в двух точках.

  Это происходит, когда расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности.

  Условие: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

• Окружности касаются внутренним образом.

  Это происходит, когда расстояние между центрами равно модулю разности их радиусов. У них есть одна общая точка (точка касания).

  Условие: $d = |R_1 - R_2|$, где $R_1 \neq R_2$.

• Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь ее.

  Это происходит, когда расстояние между центрами меньше модуля разности их радиусов. У них нет общих точек.

  Условие: $d < |R_1 - R_2|$.

• Окружности концентрические.

  Это частный случай предыдущего расположения, когда центры окружностей совпадают. Если радиусы различны ($R_1 \neq R_2$), у них нет общих точек. Если радиусы равны ($R_1 = R_2$), окружности полностью совпадают.

  Условие: $d = 0$.

Ответ: Две окружности могут не иметь общих точек (когда одна находится внутри другой или они расположены на расстоянии друг от друга), иметь одну общую точку (внешнее или внутреннее касание) или иметь две общие точки (пересечение). Конкретное расположение определяется аналитическим сравнением расстояния между центрами $d$ с суммой $R_1 + R_2$ и разностью $|R_1 - R_2|$ их радиусов.

Как определяется расстояние между их центрами?

Расстояние между центрами двух окружностей — это длина отрезка, соединяющего эти два центра.

Если на плоскости введена декартова система координат и известны координаты центров окружностей $O_1(x_1, y_1)$ и $O_2(x_2, y_2)$, то расстояние $d$ между ними можно вычислить по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Это расстояние является фундаментальной характеристикой, которая, в совокупности с радиусами, позволяет однозначно определить взаимное расположение окружностей.

Ответ: Расстояние между центрами двух окружностей определяется как длина отрезка, соединяющего их центры. Если центры заданы в системе координат точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, то расстояние вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.