Номер 26, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

26. Что такое пропорциональные отрезки на окружности и каковы их свойства?

Понятие "пропорциональные отрезки на окружности" относится к ряду теорем планиметрии, которые устанавливают соотношения между длинами отрезков, образованных хордами, секущими и касательными, проведенными к окружности. Эти соотношения выражаются через равенство произведений длин определенных отрезков.

Основные свойства (теоремы) пропорциональных отрезков:

1. Теорема о пересекающихся хордах

Формулировка: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Тогда, согласно теореме, выполняется равенство:

$AE \cdot EB = CE \cdot ED$

Это свойство следует из подобия треугольников $\triangle AEC$ и $\triangle DEB$, которые подобны по двум углам (углы $\angle CAE$ и $\angle CDE$ равны, так как опираются на одну и ту же дугу $CB$; углы $\angle AEC$ и $\angle DEB$ равны как вертикальные).

Ответ: Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.

2. Теорема о касательной и секущей

Формулировка: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длины всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Пусть из точки $P$, лежащей вне окружности, проведена касательная $PT$ (где $T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (так, что $A$ лежит между $P$ и $B$). Тогда справедливо равенство:

$PT^2 = PB \cdot PA$

Здесь $PA$ — это внешняя часть секущей (отрезок от точки $P$ до ближайшей точки пересечения с окружностью), а $PB$ — это вся секущая (отрезок от точки $P$ до дальней точки пересечения). Свойство доказывается через подобие треугольников $\triangle PTA$ и $\triangle PBT$.

Ответ: Квадрат отрезка касательной равен произведению всей секущей на ее внешнюю часть: $PT^2 = PB \cdot PA$.

3. Теорема о двух секущих

Формулировка: Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на ее внешнюю часть.

Пусть из точки $P$, лежащей вне окружности, проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках $A$ и $B$ (где $A$ лежит между $P$ и $B$). Вторая секущая пересекает окружность в точках $C$ и $D$ (где $C$ лежит между $P$ и $D$). Тогда выполняется равенство:

$PB \cdot PA = PD \cdot PC$

Это свойство напрямую следует из теоремы о касательной и секущей, так как для точки $P$ оба произведения ($PB \cdot PA$ и $PD \cdot PC$) равны квадрату длины касательной, проведенной из той же точки $P$. Величина этого произведения называется степенью точки P относительно окружности.

Ответ: Произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть: $PB \cdot PA = PD \cdot PC$.