Номер 20, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

20. Что такое движение? Какова его связь с совмещением?

Что такое движение?

Движение (или изометрия) в геометрии — это преобразование плоскости или пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками.

Формально, если преобразование f является движением, а M и N — две произвольные точки, то расстояние между их образами M' = f(M) и N' = f(N) равно расстоянию между исходными точками M и N. Это можно записать с помощью формулы: $ρ(M', N') = ρ(M, N)$, где $ρ(A, B)$ обозначает расстояние между точками A и B.

Из этого основного свойства следует, что движение сохраняет и другие геометрические характеристики: углы между линиями, параллельность прямых, а следовательно, форму и размеры фигур. Таким образом, при движении любая фигура переходит в равную (конгруэнтную) ей фигуру. Основными видами движений на плоскости являются параллельный перенос, поворот и симметрия (осевая и центральная).

Ответ: Движение (изометрия) — это преобразование, сохраняющее расстояния между точками. При движении любая фигура переходит в равную ей фигуру.

Какова его связь с совмещением?

Связь между движением и совмещением является прямой и определяющей. Понятие "движение" формализует интуитивное представление о "совмещении" одной фигуры с другой без их деформации (изгибания или растяжения).

В геометрии две фигуры называются равными (конгруэнтными), если их можно совместить наложением. "Совместить наложением" как раз и означает, что существует движение, которое переводит одну фигуру в другую. То есть, если фигуру $F_1$ можно совместить с фигурой $F_2$, это значит, что существует такое движение f, при котором образ фигуры $F_1$ совпадает с фигурой $F_2$ ($f(F_1) = F_2$).

Таким образом, движение — это математическая операция, которая реализует идею совмещения. Если одну фигуру можно получить из другой с помощью движения, то эти фигуры равны и могут быть совмещены. И наоборот, если две фигуры могут быть совмещены, то обязательно существует движение, переводящее одну фигуру в другую.

Ответ: Движение — это математическое понятие, которое строго определяет возможность совмещения фигур. Две фигуры можно совместить тогда и только тогда, когда существует движение, переводящее одну фигуру в другую.