Номер 25, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

25. Сформулируйте признаки подобия прямоугольных треугольников.

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются частными случаями общих признаков подобия треугольников. Поскольку в любом прямоугольном треугольнике один угол по определению равен $90^\circ$, для доказательства их подобия требуется меньше условий.

По одному острому углу

Этот признак является следствием первого признака подобия треугольников (по двум углам). Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ (с прямым углом $\angle C$) и $\triangle A'B'C'$ (с прямым углом $\angle C'$). По определению, $\angle C = \angle C' = 90^\circ$. Если у них есть по одному равному острому углу, например, $\angle A = \angle A'$, то по первому признаку подобия (равенство двух углов) треугольники подобны. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому если $\angle A = \angle A'$, то и второй острый угол $\angle B = 90^\circ - \angle A$ будет равен второму острому углу $\angle B' = 90^\circ - \angle A'$, что подтверждает подобие.

Ответ: Два прямоугольных треугольника подобны, если острый угол одного треугольника равен острому углу другого треугольника.

По двум пропорциональным катетам

Этот признак является частным случаем второго признака подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Катеты прямоугольного треугольника — это стороны, образующие прямой угол. Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ углы $\angle C$ и $\angle C'$ прямые, а катеты $AC, BC$ и $A'C', B'C'$ соответственно. Если катеты пропорциональны, то есть выполняется соотношение $\frac{AC}{A'C'} = \frac{BC}{B'C'}$, а угол между этими сторонами в обоих треугольниках равен $90^\circ$, то треугольники подобны по второму признаку подобия.

Ответ: Два прямоугольных треугольника подобны, если два катета одного треугольника пропорциональны двум катетам другого треугольника.

По пропорциональным гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники подобны. Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ (катеты $a, b$, гипотенуза $c$) и $\triangle A'B'C'$ (катеты $a', b'$, гипотенуза $c'$) выполняется соотношение $\frac{a}{a'} = \frac{c}{c'} = k$, где $k$ — коэффициент подобия. Необходимо доказать, что и отношение вторых катетов равно $k$. По теореме Пифагора, $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ и $b' = \sqrt{c'^2 - a'^2}$. Выразим $a$ и $c$ через $a'$ и $c'$: $a = k \cdot a'$, $c = k \cdot c'$. Тогда $b = \sqrt{(k \cdot c')^2 - (k \cdot a')^2} = \sqrt{k^2(c'^2 - a'^2)} = k\sqrt{c'^2 - a'^2} = k \cdot b'$. Таким образом, отношение всех сторон одинаково: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k$. Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку подобия (по трём сторонам).

Ответ: Два прямоугольных треугольника подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого треугольника.