Номер 24, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

24. Какими свойствами обладают биссектрисы треугольника?

Биссектрисы треугольника обладают несколькими важными свойствами:

1. Свойство точки на биссектрисе

По определению, биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. В контексте треугольника, биссектриса — это отрезок этого луча от вершины до пересечения с противолежащей стороной. Важнейшее свойство любой точки, лежащей на биссектрисе угла, заключается в том, что она равноудалена от сторон этого угла.

Ответ: Каждая точка биссектрисы угла треугольника равноудалена от двух сторон, образующих этот угол.

2. Свойство пересечения трех биссектрис

Все три биссектрисы внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется инцентром. Так как эта точка лежит на каждой из трех биссектрис, она равноудалена от всех трех сторон треугольника. Поэтому инцентр является центром окружности, вписанной в данный треугольник. Радиус этой окружности $r$ равен расстоянию от инцентра до любой из сторон.

Ответ: Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в него окружности (инцентром).

3. Свойство деления противоположной стороны (Теорема о биссектрисе)

Биссектриса любого угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам. Например, если в треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$ из вершины $A$ к стороне $BC$, то справедливо следующее соотношение:

$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$

Ответ: Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

4. Свойство длины биссектрисы

Длину биссектрисы можно вычислить, зная длины сторон треугольника. Пусть в треугольнике $ABC$ стороны равны $a, b, c$, а $l_a$ — длина биссектрисы, проведенной к стороне $a$. Тогда ее длина может быть найдена по формуле:

$l_a^2 = bc - b_1c_1$, где $b_1$ и $c_1$ — отрезки, на которые биссектриса делит сторону $a$.

Также существует формула через стороны и полупериметр $p = (a+b+c)/2$:

$l_a = \frac{2}{b+c} \sqrt{pbc(p-a)}$

Ответ: Длина биссектрисы может быть вычислена по формулам, связывающим ее с длинами сторон треугольника.