Номер 17, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

17. Что вы понимаете под преобразованием плоскости?

Под преобразованием плоскости в геометрии понимают правило (или закон), согласно которому каждой точке плоскости ставится в соответствие некоторая другая точка этой же плоскости. Иными словами, это отображение множества всех точек плоскости на себя.

Формально, если обозначить плоскость как множество точек $P$, то преобразование $f$ — это функция $f: P \to P$. Для любой точки $M$ на плоскости существует единственная точка $M'$, называемая образом точки $M$, такая что $M' = f(M)$. Точка $M$ в свою очередь называется прообразом точки $M'$.

В геометрии под преобразованием плоскости чаще всего понимают взаимно однозначное отображение (биекцию). Это означает, что разные точки плоскости переходят в разные образы, и у каждой точки плоскости есть ровно один прообраз. Такие преобразования являются обратимыми.

Преобразования классифицируют по тем геометрическим свойствам, которые они сохраняют (инвариантам). Основные виды преобразований:

1. Движение (изометрия)

Это преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$. Движения сохраняют форму и размеры фигур. К ним относятся:

- Параллельный перенос: все точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние. Задается вектором переноса $\vec{p}(a, b)$. Точка $(x, y)$ переходит в точку $(x+a, y+b)$.

- Поворот: все точки поворачиваются на один и тот же угол $\alpha$ вокруг фиксированной точки (центра поворота).

- Центральная симметрия: является частным случаем поворота на $180^\circ$.

- Осевая симметрия: симметричное отражение точек относительно прямой (оси симметрии).

2. Преобразование подобия

Это преобразование, при котором расстояние между любыми точками изменяется в одинаковое число раз. Это число $k > 0$ называется коэффициентом подобия. То есть, $A'B' = k \cdot AB$. Подобие сохраняет углы и форму фигур, но изменяет их размеры (если $k \ne 1$).

- Гомотетия: преобразование с центром $O$ и коэффициентом $k \ne 0$, при котором любая точка $M$ переходит в точку $M'$ так, что $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

- Движение: является частным случаем преобразования подобия с коэффициентом $k=1$.

3. Аффинное преобразование

Это преобразование, сохраняющее коллинеарность точек (точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой) и параллельность прямых. Движения и подобия являются частными случаями аффинных преобразований.

Таким образом, понятие преобразования плоскости является фундаментальным в геометрии, позволяя изучать свойства фигур через их поведение при различных отображениях.

Ответ: Преобразование плоскости — это правило, по которому каждой точке плоскости сопоставляется некоторая точка той же плоскости. Как правило, рассматриваются взаимно однозначные преобразования, которые сохраняют определённые геометрические свойства (например, расстояние, углы, параллельность прямых), что позволяет классифицировать их на различные типы: движения, подобия, аффинные преобразования и другие.