Номер 22, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

22. Что такое гомотетия? Какими свойствами она обладает? Что такое центр и коэффициент гомотетии?

Что такое гомотетия?

Гомотетия (от греческих слов homós – «одинаковый, подобный» и thetós – «положенный, расположенный») — это вид преобразования плоскости или пространства, при котором каждая точка фигуры переходит в новую точку таким образом, что исходная и новая фигуры оказываются подобными.

Формально, гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ (где $k \ne 0$) — это преобразование, которое сопоставляет каждой точке $M$ плоскости (или пространства) такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство:

$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$

Это означает, что точка $M'$ лежит на прямой $OM$, а расстояние от центра $O$ до точки $M'$ равно произведению расстояния от $O$ до $M$ на абсолютное значение коэффициента $k$: $OM' = |k| \cdot OM$.

Ответ: Гомотетия — это преобразование подобия, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ по правилу $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — фиксированная точка (центр), а $k$ — ненулевое число (коэффициент).

Какими свойствами она обладает?

Гомотетия обладает рядом важных свойств, которые определяют ее применение в геометрии:

• При гомотетии любая прямая переходит в параллельную ей прямую или в саму себя (если центр гомотетии лежит на этой прямой).
• Отрезок переходит в отрезок, причем его длина изменяется в $|k|$ раз: $A'B' = |k| \cdot AB$.
• Углы при гомотетии сохраняются. Это означает, что угол между двумя прямыми равен углу между их образами.
• Гомотетия является преобразованием подобия. Любая фигура переходит в подобную ей фигуру. Коэффициент подобия равен $|k|$.
• Отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии: $S(F') = k^2 \cdot S(F)$.
• Отношение объемов гомотетичных тел равно кубу модуля коэффициента гомотетии: $V(F') = |k|^3 \cdot V(F)$.
• Если коэффициент $k=1$, гомотетия является тождественным преобразованием (каждая точка остается на месте).
• Если коэффициент $k=-1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра $O$.
• Композиция (последовательное применение) двух гомотетий также является гомотетией или параллельным переносом.

Ответ: Основные свойства гомотетии: преобразование фигур в подобные, преобразование прямых в параллельные, сохранение углов и изменение длин отрезков в $|k|$ раз, а площадей — в $k^2$ раз.

Что такое центр и коэффициент гомотетии?

Центр и коэффициент гомотетии — это два параметра, которые полностью определяют данное преобразование.

Центр гомотетии ($O$) — это единственная неподвижная точка преобразования (при $k \neq 1$), относительно которой происходит масштабирование. Все прямые, соединяющие исходные точки с их образами (например, прямая $MM'$), проходят через центр гомотетии $O$. Эта точка служит "точкой отсчета" или "точкой зрения" для преобразования.

Коэффициент гомотетии ($k$) — это действительное число, не равное нулю, которое определяет масштаб и направление преобразования:

• Абсолютная величина $|k|$ показывает, во сколько раз изменяются все расстояния от центра гомотетии.
  • Если $|k| > 1$, происходит растяжение (увеличение) фигуры от центра.
  • Если $0 < |k| < 1$, происходит сжатие (уменьшение) фигуры к центру.
  • Если $|k| = 1$, все расстояния сохраняются.
• Знак коэффициента $k$ определяет направление преобразования.
  • Если $k > 0$ (положительный коэффициент), гомотетия называется прямой. Точка и ее образ лежат по одну сторону от центра $O$ на одной прямой.
  • Если $k < 0$ (отрицательный коэффициент), гомотетия называется обратной. Точка и ее образ лежат по разные стороны от центра $O$ на одной прямой.

Ответ: Центр гомотетии — это неподвижная точка, являющаяся центром масштабирования. Коэффициент гомотетии — это число, определяющее величину (масштаб) и направление (прямое или обратное) этого масштабирования.